Problema de la teoría numérica, ecuación diofántica de 3er grado.

Question

Cuántos enteros positivos hay que pueden escribirse en la forma$$\frac{m^3+n^3}{m^2+n^2+m+n+1}$ $ donde$m$ y$n$ son enteros positivos.

Inventé este problema y me quedé con él durante mucho tiempo. Es realmente interesante saber si existe una solución para este problema.

Answer 1

Un par de líneas de código intentar el primer 5000 números le dará las respuestas que hasta el cambio de orden entre las $m$$n$, vamos a $f(m,n) = \frac{m^3 + n^3}{m^2+n^2+m+n+1}$:

$f(1,2) = 1; \qquad f(182,379) = 341; \qquad f(664,4286) = 4200; \qquad f(692, 3847) = 3747$ $f(961,1712) = 1531; \qquad f(996,692) = 896; \qquad f(1112, 270) = 1064$ $f(1712, 961) = 1513; \qquad f(2778,3210) = 3024$

Seguro que hay más, pero tal vez usted podría tratar de encontrar un patrón o ver algo en común?

Como también si es interesante, así que la teoría de los números. Teorema de Fermat es muy famoso y Andrew Wiles pasado cerca de 5 años inicialmente para encontrar un defectuosa de la prueba que ha sido corregido y, sin embargo, no tiene aplicación alguna.

Así que supongo que la parte interesante es puramente mental, no es práctico (o al menos no todavía).

Answer 2

Fijo $n\ge 1$ a veces podemos resolver la cuestión de la siguiente forma. Escribir $$ \frac{m^3+n^3}{m^2+m+n^2+n+1}=(m-1) -\frac{(n^2+n)m-(n^3+n^2+n+1)}{m^2+m+(n^2+n+1)}. $$ El lado izquierdo es un número entero, si y sólo si la última fracción en el lado derecho es un entero. Sin embargo, para que fija $n$, el denominador crece cuadráticamente, y el numerador sólo linealmente en $m$. Para $m$ suficientemente grande, la fracción no será un número entero. Para las pequeñas $n$ esto funciona, por ejemplo, para decir $n=1$ hemos $$ \frac{m^3+1}{m^2+m+3}=(m-1) -\frac{2m-4}{m^2+m+3}, $$ donde la última fracción es un número entero si y sólo si $m=2$. Para $n=2$ obtenemos la fracción $\frac{6m-15}{m^2+m+7}$ que es un entero si y sólo si $m=1$, etc. En general, por supuesto, esto todavía deja un número finito de posibles soluciones para $m$ si $n$ es fijo, y no hemos respondido a la pregunta.