Prueba de$AB$ como subgrupo si$A, B$ son subgrupos donde$b^{-1}Ab\subset A$

Question

Deje que$A<G,B<G$ tal que$b^{-1}Ab\subset A, \forall b\in B.$ muestre que$AB<G$

Entonces, porque$b^{-1}Ab\subset{A}$,$b^{-1}a_1b=a_2$ para algunos$a_2\in A$. Entonces $a_1b=ba_2$

Ahora deja $a_1b_1,a_2b_2 \in AB$. Luego$a_1b_1a_2b_2=a_1a_3b_1b_2 \in AB, $ para algunos$a_3 \in A$.

$e=ab(ab)^{-1}=ab(b\alpha)^{-1}=ab\alpha^{-1}b^{-1}\in AB$. Por lo tanto,$(ab)^{-1}=\alpha^{-1}b^{-1}$ para$\alpha\in A$ y$\alpha^{1}b^{-1}\in AB$. Esto hace $AB<G$.

EDITAR: Originalmente tenía dos preguntas aquí, pero accidentalmente borré mi pregunta. Quiero saber si esto es prueba de la declaración anterior, o si se necesita más (o menos).

Answer 1

La primera parte parece buena, pero realmente no entiendo el último argumento:$e=ee\in AB$ sin ninguna molestia. Además,$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=(b^{-1}a^{-1}b)b^{-1}\in AB,$ $ porque$a^{-1}\in A$ y por lo tanto$b^{-1}a^{-1}b\in A$.

---

Hay una forma más corta:$AB$ obviamente no está vacío. Si$a_1,a_2\in A$ y$b_1,b_2$, entonces $$ (a_1b_1) (a_2b_2) ^ {- 1} = a_1b_1b_2 ^ {- 1} a_2 ^ {- 1} $$ Set$b_3=b_1b_2^{-1}\in B$; entonces $$ (a_1b_1) (a_2b_2) ^ {- 1} = a_1 (b_3a_2 ^ {- 1} b_3 ^ {- 1}) b_3 \ en AB $$ porque$a_1(b_3a_2^{-1}b_3^{-1})\in A$.