La convolución de dos funciones de $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ se define como:
$$(f \ast g)(t) := \displaystyle \int_{\mathbb{R}}f(\tau)g(t - \tau)d\tau,$$
y puede ser generalizado a las dimensiones superiores. Un resultado de gran importancia es el conocido teorema de convolución, una versión de la cual se establece que:
$$\displaystyle \hat{f} \ast \hat{g} = \widehat{f \cdot g},$$
donde $\hat{f}$ denota la transformada de Fourier de $f$. Ya que también puede ser demostrado que $\ast$ es asociativa, entonces también tenemos:
$$\hat{f}^{\otimes_{k}} = \underbrace{\hat{f} \ast ... \ast \hat{f}}_{k \text{ terms}} = \widehat{f^k},$$
para cualquier entero positivo $k$. Ahora, tan tonto como esto suena, me gustaría investigar esto para $k = 1/2$. Es decir, dado que sabemos que los coeficientes de Fourier de $f$, podemos obtener, en términos de las circunvoluciones, los coeficientes de Fourier de $\sqrt{f}$ ?
Hay una extensión de la convolución del operador, conocido como fracciones de convolución, para que varios trabajos han sido publicados, la mayoría de los cuales caen en la categoría de procesamiento de la señal. Sin embargo, el "fraccional de convolución teoremas" parecen depender de ser capaz de escribir $f$ como un producto de funciones cuyos coeficientes de Fourier son conocidos (ver, por ejemplo, David Mostaza, de 1995, titulado Fraccional de Convolución). Pero esto no es posible aquí.
¿Alguien sabe de una continuación analítica de $\otimes_{k}$ racional valores de $k$ que permiten que esto sea posible? De lo contrario, ¿hay otras maneras de encontrar los coeficientes de Fourier de $\sqrt{f}$ dado que los coeficientes de Fourier de $f$ conocen?
