$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Brak}[1]{\left\langle #1\right\rangle}$Si $V$ es finito-dimensional real de espacio vectorial, entonces un symmeric, bilineal, con un valor real de emparejamiento $\Brak{\ ,\ }$ es no degenerada si
Para cada $x$$V$, existe un $y$ $V$ tal que $\Brak{x, y} \neq 0$.
Supongo que usted está preguntando acerca de la no-degenerada emparejamientos.
Si el emparejamiento no es ni positivo-definida $(\Brak{x, x} > 0$ todos los $x \neq 0$) ni negativa definida $(\Brak{x, x} < 0$ todos los $x \neq 0$) , la función cuadrática $Q(x) = \Brak{x, x}$ es continua y cambia de signo, por lo tanto se desvanece para algunos no-cero $x$.
Hay inmediatas algebraicas consecuencias, tales como
Un no-cero vector puede ser ortogonal a la misma.
Un no-vector cero puede no ser proporcional a un vector unitario. (Ver gammatester comentario.)
Si definimos la unidad de la esfera a ser el conjunto de $x$ tal que $\Brak{x, x} = 1$, la principal consecuencia técnica de indefiniteness es sin duda
La unidad de la esfera es no compacta.
Por lo general, si $(M, \Brak{\ ,\ })$ es un compacto colector equipado con un continuo/liso campo de la no-degenerada, indefinido interior de los productos, a continuación, la unidad de la esfera de paquete no es compacto. Esto cambia completamente el carácter de, digamos, la geodésica ecuaciones en un compacto colector. Comparar, por ejemplo:
Riemann geodesics (puntos críticos de la energía con respecto a una métrica de Riemann, una.k.un., un campo de positivo-definida interior de los productos), cuyo largo tiempo de existencia está garantizada.
Las órbitas de los planetas (puntos críticos para la Lagrangiana de la mecánica Newtoniana, que actúa como un indefinido métrica en la tangente paquete de espacio de configuración), que puede terminar en un choque en tiempo finito.
Timelike geodesics en la relatividad general, que después de finito en el tiempo apropiado, puede dejar de ser extensible.
