Funciones de la matriz de una matriz no diagonalizable

Question

Deje $A$ ser el siguiente $3 \times 3$ matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} $$

Voy a calcular el $A^n$, donde $n \in \Bbb R$, $\exp(tA)$ y $\sin(\pi A)$. Obviamente $A$ no es diagonalizable. Ya que no hemos tenido nada acerca de Jordania descomposición en la conferencia, no estoy seguro de cómo resolver esto.

Los autovalores $\lambda_1 = -1 , \lambda_{2,3} = 1$ se puede leer. Traté de ampliar los dos vectores propios en un ortonormales, es decir:

$$ \mathbf{x}_{\lambda_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \qquad \mathbf{x}_{\lambda_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \qquad \mathbf{x}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} $$

Pero estoy bastante seguro de cómo continuar. Sospecho que

$$ A^n = \begin{pmatrix} 1 & n & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^n \\ \end{pmatrix} \qquad \text{para} \qquad n \in \Bbb N_0, $$

Pero, ¿cómo expandir esto a $n \in \Bbb R$? En general, ¿cómo puedo solucionar un problema de la matriz de funciones, si yo no he oído nada acerca de Jordania descomposición?

EDIT: Gracias por tu ayuda. Yo podría mostrar que la mencionada matriz de $A^n$ es correcta, incluso para $n \in \Bbb Z$. Las otras dos funciones son sencillas, a continuación,. Si alguien tiene una idea o sugerencia acerca de $A^n$$n \notin \Bbb Z$, te lo agradecería.

Answer 1

Como usted dijo, $$ A^n = \begin{bmatrix} 1 & n & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^n \\ \end{bmatrix} \qquad \text{para} \qquad n \in \Bbb N.$$

Entonces $$ \exp(tA)=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^nA^n}{n!} =\begin{bmatrix} \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} &\sum_{n=0}^\infty n\frac{t^n}{n!}&0\\0&\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}&0\\ 0&0&\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^n}{n!} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} e^{t}&te^t&0\\ 0&e^t&0\\ 0&0&e^{-t} \end{bmatrix}. $$ Usted puede jugar el mismo juego para el seno.

Acerca de los poderes, se podría definir $$ A^t=\begin{bmatrix}1&t&0\\0&1&0\\0&0&e^{\pi i t}\end{bmatrix}. $$ Esto está de acuerdo con las potencias enteras de $A$ y satisface la exponencial de la propiedad $A^{t+s}=A^{t}A^{s}$. Es importante notar que para los no-entero $t$ esta elección es arbitraria y no el resultado de un cálculo.

Answer 2

He aquí otra estrategia, para tomar o dejar. Usted puede escribir $ tA = tD+tB$ donde $tD$ es una matriz diagonal y $tB$ es una triangular superior "nilpotent" de la matriz. Nilpotent matrices tienen la propiedad especial de que $B^k = 0$ para algunos finito $k$ (en el caso de $k=2$). Entonces, debido a que cualquier matriz de desplazamientos con una matriz diagonal, la siguiente fórmula se tiene:

$$ \exp(t(D+B)) = \exp(tD)\exp(tB) $$

Usted puede calcular el $\exp(tD)$ fácilmente, y $\exp(tB)$ va a ser un polinomio de $tB$ desde que la serie de $\exp()$ va a terminar después de un número finito de términos. De hecho, debido a $B^2=0$ de su matriz, $\exp(tB) = I+tB$. A continuación, sólo se multiplican $\exp(tD)$ $I+tB$ para obtener el resultado.

Nota: la exponencial de la fórmula anterior sólo se sostiene debido a que las matrices que conmutan. $\exp(A+B)\neq \exp(A)\exp(B)$ en general!