¿Cuál es la diferencia entre la propiedad limite superior menos y la integridad de cauchy en la línea verdadera?

Question

Los números reales pueden ser characteriesed de dos maneras:

a) es el único ordenado de campo con al menos-límite superior de la propiedad

b) es el único ordenado de arquímedes campo en el que todas las secuencias de cauchy converge

Ahora, tanto los menos-límite superior de la propiedad o la convergencia de cauchy secuencias puede ser tomado como la idea de la integridad. Pero, ¿por qué la diferencia? En a) no tenemos necesidad de especificar que se trata de arquímedes, en b) tenemos que hacer.

Es esto debido a que la integridad en una) es debido a la orden, mientras que en b) se debe a una métrica $d(a,b):=|a-b|$?

Answer 1

Una manera de ver la diferencia es considerar que el menos-límite superior de la propiedad es una declaración tan fuerte que implica que una orden de campo es de Arquímedes. Si una orden de campo tiene al menos-límite superior de la propiedad, entonces el subconjunto de los números enteros no tienen un elemento de campo $B$ como supremum, porque $B/2$ sería una menor cota superior.

La convergencia de Cauchy secuencias es relativamente débil. Cuando vi tu pregunta, mi (vergonzoso) primer instinto fue no pensar realmente sobre el problema, pero al busto de James Propp el artículo de Análisis Real en sentido Inverso y buscar un contraejemplo. Y ahí está: el campo formal de la serie de Laurent ha convergencia de Cauchy de las secuencias, pero no menos importante-límite superior de la propiedad. El problema es que la convergencia de Cauchy secuencias permite para los campos que son demasiado grandes.

No estoy seguro de si eso responde a su pregunta acerca de la diferencia fundamental entre las dos propiedades, pero espero te sirva de ayuda!