Considere la posibilidad de un campo de vectores $\mathbf B:\mathbb R\times \mathbb R^3\to\mathbb R^3$. Deje que existe cierta $\mathbf A:\mathbb R\times \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ que $\mathbf B = \nabla \times\mathbf A$ cuando la curvatura es tomado a través de la "$\mathbb R^3$" argumento.
Ahora, para cada una de las $t\in\mathbb R$, vamos a un elemento de superficie $\Sigma_t$ con la topología de un disco determinado. Deje $\gamma:\mathbb R\times[0,1]\to\mathbb R^3$ parametrizar $\partial \Sigma_t$. En particular, para cada una de las $t\in\mathbb R$, vamos a $\gamma(t, \cdot)$ traverse $\partial\Sigma_t$ exactamente una vez. A continuación, mediante el convenio que se repite en los índices de suma de $1$ $3$hemos \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{\Sigma_t}\mathbf B\cdot d\mathbf a &= \frac{d}{dt}\int_{\partial\Sigma_t} \mathbf A\cdot d\boldsymbol \ell \\ &= \frac{d}{dt}\int_0^1 A_i \frac{\partial\gamma^i}{\partial \lambda}d\lambda \\ &= \int_0^1 \frac{\partial A_i}{\partial t}\frac{\partial\gamma^i}{\partial \lambda} d\lambda +\int_0^1\left(\frac{\partial\gamma^j}{\partial t}\frac{\partial A_i}{\partial x^j}\frac{\partial\gamma^i}{\partial\lambda} +A_i\frac{\partial^2\gamma^i}{\partial t\partial\lambda}\right)d\lambda\\ &= \int_{\Sigma_t} \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\cdot d\mathbf a+\int_0^1\left(\frac{\partial\gamma^j}{\partial t}\frac{\partial A_i}{\partial x^j}\frac{\partial\gamma^i}{\partial\lambda} +A_i\frac{\partial^2\gamma^i}{\partial t\partial\lambda}\right)d\lambda\\ \end{align} Por otro lado, la divergencia libre campo de vectores $\mathbf B$ (a la que nos tiene aquí desde $\mathbf B$ es el curl de $\mathbf A$), la de Leibniz integral de la reglada \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{\Sigma_t}\mathbf B\cdot d\mathbf a &= \int_{\Sigma_t} \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\cdot d\mathbf a - \int_{\partial\Sigma_t} \mathbf v\times \mathbf B\cdot d\boldsymbol \ell \end{align} Pregunta. Presumiblemente, la fórmula se deriva de arriba debe estar de acuerdo con esta expresión, pero no puedo ver cómo lo hace.
Como lo que yo puedo decir, el segundo término de la derecha de la de Leibniz integral fórmula puede ser escrita de la siguiente manera. En primer lugar, como lo que puedo decir que la notación que se puede traducir como $$ \mathbf v = \frac{\partial\gamma}{\partial t}, \qquad d\boldsymbol \ell = \frac{\partial\gamma}{\parcial\lambda}d\lambda $$ En segundo lugar, tomamos nota de la siguiente identidad $$ \mathbf v\times\mathbf B = (v^j\partial_i A_j - v^j\partial_jA_i)\mathbf e^i $$ Poner estos hechos en conjunto da $$ -\int_{\parcial\Sigma_t} \mathbf v\times\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell = \int_0^1\left(\frac{\partial\gamma^j}{\partial t}\frac{\partial A_i}{\partial x^j}\frac{\partial\gamma^i}{\parcial\lambda} -\frac{\partial\gamma^j}{\partial t}\frac{\partial A_j}{\partial x^i}\frac{\partial\gamma^i}{\parcial\lambda}\right)d\lambda $$ El segundo término en el integrando no parecen coincidir con el segundo término en el integrando al final de la primera cálculo anterior.
He interpretado la fórmula integral de forma incorrecta? Tal vez mi primera operación tiene un error en ella? Gracias por la ayuda.
