Integral indefinida de $ \ln(x)^{\ln(x)^{\ln(x)^{.^{.^{.^{\ln(x)}}}}}}$ para un $ n $ -número de $ \ln(x) $ con respecto a $ x $

Question

Se trata de una pregunta de tetralogía sobre la búsqueda de la integral indefinida. No estoy seguro de por dónde empezar, así que cualquier ayuda será apreciada.

$$ I= \int \ln(x)^{\ln(x)^{\ln(x)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\ln(x)}}}}}} dx $$

Answer 1

Se trata menos de una respuesta y más de un conjunto de reflexiones para un caso concreto del problema.

Para $n=2$ : $$\begin{align*} \int (\ln x)^{\ln x}dx&\overset{x=e^y}{\underset{dx=e^ydy}{=}}\int y^ye^ydy=\tag{$\star$}\\ &=\int e^{y\ln y}e^ydy=\\ &=\int e^{y\ln y+y}dy=\\ &=\int\sum_{k=0}^\infty\frac{(y\ln y+y)^k}{k!}=\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\int(y\ln y+y)^kdy=\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\int\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}y^n\ln^nyy^{k-n}dy=\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\int y^k\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}\ln^nydy=\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}\int y^k\ln^nydy \end{align*}$$ He introducido las series de potencias porque creo que las integrales de la forma $\int x^xdx$ no puede calcularse en términos de funciones "simples".

Ahora, si se quiere proceder a más cálculos, creo que deberíamos hablar de integrales definidas. Sin embargo, se puede calcular la integral: $$I_{n,k}=\int y^k\ln^nydy$$ aplicando varias veces la integración por partes: $$I_{n,k}=\frac{y^{k+1}}{k+1}\ln^ny-\frac{n}{k+1}I_{n-1,k}+c$$

Sin embargo, cuando $n>2$ No encuentro algo tan "sencillo" como el procedimiento anterior...