Primer orden fórmula lógica para "uno de x"

Question

Teniendo en cuenta la siguiente frase:

Casi una de cinco mujeres ganan más dinero que su pareja.

En parte esto puede traducir a la primera orden predicado lógico fórmula siguiente: (suponiendo que un barco de la pareja es 'tradicional')

$\exists x,y~|~Woman(x) \wedge Man(y) \wedge PartnerOf(x,y) \wedge MakesMore(x,y)$

Pero, ¿cómo puedo introducir la "una x" en esta fórmula?

Answer 1

Tomando el significado de "uno en $n$ satisface $\varphi$" a (entre finito modelos) "el conjunto de individuos de satisfacciones $\phi$ al menos $\frac{1}{n}$ el tamaño del conjunto de todos los individuos", no hay ninguna forma de estado en la lógica de primer orden.

Para simplificar, supongamos que tenemos un primer orden de idioma con sólo el predicado unario símbolo $P$ como nonlogical símbolo, y supongamos que $\psi$ es una frase en ese idioma significa "uno en $n$ satisface $P$."

Para cada número natural $k$ podemos construir oraciones $\theta_k$ $\sigma_k$ con los siguientes significados:

• $\theta_k$: al menos $k$ individuos distintos satisfacer $P$;
• $\sigma_k$: al menos $k$ distintos individuos que no satisfacen $P$.

Relativamente fácil de compacidad argumento muestra que tanto $$\Sigma_+ = \{ \psi \theta_1 , \sigma_1 , \theta_2 , \sigma_2 , \ldots \}; \qquad \Sigma_- = \{ \neg \psi \theta_1 , \sigma_1 , \theta_2 , \sigma_2 , \ldots \}$$ are consistent. Furthermore, by the Löwenheim–Skolem Theorem, both $\Sigma_+$ and $\Sigma_-$ have countably infinite models. But it is easy to show that any two countable models of $\{ \theta_1 , \sigma_1 , \theta_2 , \sigma_2 , \ldots \}$ son isomorfos.

Answer 2

Ver Arthur's post para que la respuesta al problema. Tome la siguiente, como un par de intentos fallidos.

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$\fbox{1}$ Una forma natural de hacerlo sería para cuantificar a través de subconjuntos del dominio:

$\forall_{\langle 5, W, S\rangle}\phi(S)$ es cierto iff cada conjunto S de tamaño 5 que consta de las mujeres (W) satisface la fórmula $\phi.$

La forma en que esto funciona es simple. Dada una estructura con dominio de $D$, predicado letra '$W$' tiene como extensión de algún subconjunto de $D$, es decir, el subconjunto formado de todas las mujeres. El especial del cuantificador selecciona cada subconjunto S de tamaño 5 entre los que la extensión de la $W$ y pasa a la de segundo orden predicado $\phi$. Todo lo que queda es definir $\phi(X)$ s.t. es cierto sólo en caso de que exista (al menos, en la mayoría, una exclusiva: todos fácilmente definibles en términos de los cuantificadores) alguien en $X$ que gana más dinero que su marido (ya saben cómo abordar este).

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$\fbox{2}$ Ya que el lenguaje debe ser de primer orden, que no podemos cuantificar a través de subconjuntos del dominio, por lo que podemos utilizar las iteraciones de la norma cuantificadores para hacer el trabajo de la cuantificador por encima de, por ejemplo, de la siguiente manera:

$\forall_{\langle 5, W, S\rangle}\phi(S) ~=_{df}~ \forall x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 ((Wx_1 \land \ldots \land Wx_5) \rightarrow (\phi(x_1) \lor \ldots \lor \phi(x_5)))$

Hay una manera natural de generalizar esto a cualquier tamaño y el predicado. Si quieres "exactamente" 5 o "en la mayoría de los" 5, usted tiene que añadir más cosas a la consecuente; este solo cubre el "al menos" 5 caso.