¿Cuál es la raíz cuadrada de $3 + 2\sqrt{10}i$?

Question

Necesito calcular la raíz cuadrada de $3 + 2\sqrt{10}i$.

Sé cómo resolverlo, pero por alguna razón no estoy recibiendo la respuesta correcta. Intenté resolverlo así:

$$ \sqrt{3 + 2\sqrt {10} i} = x + iy \quad \longrightarrow \quad 3 + 2\sqrt {10} i = x ^ 2 - y ^ 2 +2xyi $$ y así sucesivamente, pero mi respuesta no es correcta.

Answer 1

Como ya he explicado aquí. hay una fórmula simple para el almacenaje radicales, es decir,

Simple Almacenaje Regla De $\rm\ \ \ \ \color{blue}{subtract\ out}\ \sqrt{norm}\:,\ \ then\ \ \color{brown}{divide\ out}\ \sqrt{trace} $

$\ 3+2\sqrt{-10}\ $ norma $= 49.\:$ $\rm\ \color{blue}{subtracting\ out}\,\ \sqrt{norm}\ = 7\,\ $ rendimientos $\ {-}4+2\sqrt{-10}\:$

con $\, {\rm\ \sqrt{trace}}\, =\, 2\sqrt{-2}.\ \ \ \rm \color{brown}{Dividing\ this\ out}\ $ de los de arriba obtenemos $\,\ \sqrt{-2} + \sqrt 5$

La comprobación de que nos encontramos con $\,\ (\sqrt{-2} + \sqrt 5)^2 =\, -2+5 + 2\sqrt{-2}\sqrt 5\, =\, 3+ 2\sqrt{-10}$

Comentario $\ $ Muchos más ejemplos desarrollados en anteriores posts de este almacenaje de la regla.

Answer 2

Su "y así sucesivamente" podría ir así:

$$\begin{cases}x^2-y^2=3,\\2xy=2\sqrt{10}.\end{cases}$$

A continuación, el cuadrado y la adición de las dos,

$$x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2=49,$ $ , de modo que

$$x^2+y^2=\pm7.$$

De problemas con la ayuda de la primera,

$$x^2=5,y^2=2\text{ or }x^2=-2,y=-5.$$

Esto deja a las posibilidades

$$x=\pm\sqrt5,y=\pm\sqrt2.$$

Por la segunda ecuación, sabemos que los signos están sincronizados, por lo tanto

$$\sqrt5+i\sqrt2\text{ or }-\sqrt5-i\sqrt2.$$

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De manera más general,

$$\begin{cases}x^2-y^2=u,\\2xy=v.\end{cases}$$

los rendimientos

$$u^2=\frac12(\sqrt{v^2+u^2}+u),v^2=\frac12(\sqrt{v^2+u^2}-u),$$

y

$$x=\pm\sqrt{\frac12(\sqrt{v^2+u^2}+u)}, y=\pm\sqrt{\frac12(\sqrt{v^2+u^2}-u)},$$

donde el signo de $xy$ debe coincidir con el signo de $v$.

Answer 3

$z=3+2i\sqrt{10}$ es un número complejo con el módulo $7=\sqrt{9+40}$ en el primer cuadrante ($\text{Re}(x),\text{Re}(y)>0$), por lo tanto tenemos %#% $ $$ z=7 e^{i\theta} $ #% $ desde $$\theta = \arctan\frac{2\sqrt{10}}{3}=2\arctan t.$, mediante la solución de $\tan(2u)=\frac{2\tan(u)}{1-\tan^2(u)}$ % restricción $\frac{2t}{1-t^2}=\frac{2\sqrt{10}}{3}$obtenemos $t>0$, por lo tanto la raíz cuadrada de $t=\sqrt{\frac{2}{5}}$ en el primer cuadrante está dada por: $z$ $ o: %#% $ de #% nos deje CK la solución encontrada así: $$ \sqrt{z} = \sqrt{7} e^{it} = \sqrt{7}\left(\cos\arctan\sqrt{\frac{2}{5}}+i\sin\arctan\sqrt{\frac{2}{5}}\right) $ $

Answer 4

Usando cálculo, buscas el número $z=x+iy$ tal que $z^2=3+2\sqrt{10}i$. Expandir $$z^2=x^2-y^2+2ixy=3+2\sqrt{10}i$$ Identify the real and imaginary parts; this gives $$x^2-y^2=3\tag 1$$ $$xy=\sqrt{10}\implies y=\frac {\sqrt{10}}x\tag 2$$ So, equation $ 1$ becomes $$x^2-\frac {10}{x^2}=3\implies x^4-3x^2-10=0\tag 3$$ Which is a quadratic equation in $x ^ 2 $; let $t = x ^ 2 $ and solve $t ^ 2-3t - 10 = 0 $ the roots of which are $?? $. One solution must be discarded since the product of the roots is negative; so, only one $t $ must be kept. Now, back to $x ^ 2 = t $ will give $x $ and $ 2 $ will give the corresponding $y$.

Answer 5

$$ \sqrt{3 + 2\sqrt {10} i} = x + iy $$ $$ 3 + 2\sqrt{10}i=x^2 -y^2 +2ixy $ $ $$ x^2 -y^2 =3$ $ $$ 2xy=2 \sqrt{10}$ $ $$( x^2 + y^2 )^2= ( x^2 - y^2 )^2 +2xy $ $ $$ x^2 + y^2 =7$ $ $$ x^2 -y^2 =3$ $