un problema geométrico olympiand

Question

Que $ABCD$ ser un cuadrilátero convexo y $E$ $CD$ un punto. Supongamos que conoce a $AC$ $BE$ $F$ $BD$ $AE$ $G$ de cumple y cumple de $AC$ $BD$ $H$. Si $FG//CD$ y las áreas de $\triangle ABH$, %#% son el #% y $\triangle BCE$ $\triangle ADE$, $2$ $3$ respectivamente, se encuentra la zona de $4$ y prueba que $\triangle ABE$ es una tangente de circumcircle de $CD$.

Answer 1

Coordenadas exactas

Su figura sólo está definida hasta el área de la preservación de transformaciones afines. He aquí un posible conjunto de coordenadas, calculado a partir de sus condiciones de uso resultantes:

\begin{align*} A &= \begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix} & B &= \begin{pmatrix}-\tfrac12-\tfrac12\sqrt{15}\\15-3\sqrt{15}\end{pmatrix} & C &= \begin{pmatrix}-1-\tfrac15\sqrt{15}\\0\end{pmatrix} \\ D &= \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} & F &= \begin{pmatrix}2-\tfrac45\sqrt{15}\\48-12\sqrt{15}\end{pmatrix} & G &= \begin{pmatrix}0\\48-12\sqrt{15}\end{pmatrix} \\ E &= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} & H &= \begin{pmatrix}\tfrac27-\tfrac27\sqrt{15}\\ \tfrac{108}7-\tfrac{24}7\sqrt{15}\end{pmatrix} \end{align*}

Usted puede verificar que todos los collinearities y áreas son satisfechas por estos. Excepto por el hecho de que eran incompatibles en el orden en que se especifican los triángulos para los requerimientos del área, pero no creo que esto debe implicar un signo negativo aquí.

Responder a sus preguntas

hallar el área de $\triangle ABE$

Usted puede calcular que a sí mismo, a partir de las coordenadas anteriores. Verificar: es aproximadamente $4.9$.

la prueba de que $CD$ es una tangente de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABE$

Generalmente, esto no es el caso, y de hecho no es el caso para las coordenadas mencionadas, ya sea como usted puede ver fácilmente. Lo cual tiene sentido, ya que como he dicho antes, toda la configuración sólo está definido hasta un área de preservación de la transformación afín, y los que no preservar los círculos.

Cómo calcular

Entonces, ¿cómo puedo encontrar estas coordenadas? Empecé por la asignación de variables para la mayoría de las coordenadas de $A,B,C,D$. Me decidí a $C_y=D_y=E_y=0$, de modo que la línea se convirtió en la $x$ eje. Yo también decidió poner a $E$ en el origen. He calculado las coordenadas de $F,G,H$ en términos de estas variables. Luego he usado esos expresar sus condiciones. La condición de $CD\Vert FG$ y los tres requisitos de área consiguió transformar en estas ecuaciones, con el fin de:

$$ -A_y^2B_xB_yC_x + A_xA_yB_y^2C_x - A_y^2B_xB_yD_x + A_xA_yB_y^2D_x + A_y^2B_yC_xD_x - A_yB_y^2C_xD_x=0 \\[2ex] A_y^2B_x^2 - 2A_xA_yB_xB_y + A_x^2B_y^2 - A_y^2B_xC_x + A_xA_yB_yC_x + A_yB_xB_yC_x \\- A_xB_y^2C_x - A_y^2B_xD_x + A_xA_yB_yD_x + A_yB_xB_yD_x - A_xB_y^2D_x + A_y^2C_xD_x \\- 2A_yB_yC_xD_x + B_y^2C_xD_x + 4A_yB_x - 4A_xB_y + 4B_yC_x - 4A_yD_x=0 \\[2ex] -B_yC_x - 6=0 \\[2ex] A_yD_x - 8=0 $$

Yo calculada como resultado de estos para eliminar algunas variables, y encontró que podía elegir a $A$ arbitrariamente. Así lo hice, y no con las coordenadas anteriores al principio, pero posteriormente se ajustó las coordenadas para obtener una buena foto y simple de coordenadas. Lo que la elección de $A$ como en el anterior, tengo un final resultante que un factor como este:

$$B_y^3 \cdot (B_y^2 - 30B_y + 90)=0$$

$B_y=0$ $B$ colineal con $C,D,E$ lo que sin duda es muy degenerada. Así es el último factor que describe la situación en la que estamos interesados.

En realidad, hay dos soluciones, la de arriba y la que se obtiene cambiando el signo de cada una de las apariciones de $-\sqrt{15}$. Pero que solución tendría $B_x>A_x$ han $F$ $G$ fuera de sus segmentos de línea, y, en general, tendría un aspecto bastante feo. Decidí que esa no era la intención de la solución, y de hecho una imagen de la otra.

Answer 2

Siento que finalmente averiguar $DC$ no es la tangente. Sin embargo he encontrado una solución más fácil:

Que $[PQR]$ denotan la zona de $\triangle PQR$ y que $[ABE]=x$. Entonces $$\frac{BF}{FE}=\frac{BG}{GD}=\frac{[ABE]}{[ADE]}=\frac x4$$$$\frac{AG}{GE}=\frac{AF}{FC}=\frac{[ABE]}{[CBE]}=\frac x3$ $ esto produce $$[AFE]=\frac{FE}{BE}[ABE]=\frac{4x}{x+4}$$$$[BGE]=\frac{GE}{AE}[ABE]=\frac{3x}{x+3}$$

Desde $\frac{AH}{HF}\frac{FB}{BE}\frac{EG}{GA}=1$ $$\frac{AH}{HF}\frac x{x+4}\frac3x=1$ $$$[AHE]=\frac{AH}{AF}[AFE]=\frac {4x}{x+7}$ $

Del mismo modo, $$[BHE]=\frac{3x}{x+7}$ $ desde $$[ABH]+[AHE]+[BHE]=[ABE]$ $ $$2+\frac{4x}{x+7}+\frac{3x}{x+7}=x$ $

Solución: $x=1+\sqrt{15}$