Que aparece en el hilo de comentarios que tenemos una idea de cómo probar el resultado, pero hay una confusión sobre por qué cualquier corregir la prueba debe utilizar el hecho de que $f'$ es continua. Primero debemos darle un contraejemplo: Una función derivable $f$, $f'$ continua excepto en el origen, de tal manera que la conclusión es falsa. A continuación, por el bien de orden que le damos una prueba de que el resultado asumiendo $f'$ es continua.
Al principio pensé que trata de mostrar que la conclusión a la falla de la tradicional $t^2\sin(1/t)$ cosa, pero la estimación de la necesaria $\sigma_n(f)$ $\sigma_n(f')$ que funcionan de hecho me dolía la cabeza. Decidió escribir un ejemplo, cuando me di cuenta de que los cálculos podrían ser mucho más simplificado mediante la construcción de $f$ fuera de la no disminución de las funciones.
Deje $\phi:\Bbb R\to\Bbb R$ ser suave y no decreciente, con $\phi(t)=0$ $t<-1$, $\phi(t)=1$ para $t>1$, e $\phi'(0)=1$. Vamos $$f_n(t)=\phi\left(100^n(t-2^{-n})\right),$$and define $$f=\sum_{n=1}^\infty 4^{-n}f_n.$$
En primer lugar, $f$ es, sin duda continua, por lo $$\sigma_n(f)\to\int_0^1f(t)\,dt.$$
Tenga en cuenta que $f_n'=0$ $\Bbb R\setminus I_n$ donde $I_n=(2^{-n}-100^{-n},2^{-n}+100^{-n})$. Puesto que el $I_n$ son disjuntas está claro que $f$ es diferenciable, excepto tal vez en el origen, donde el $I_n$ se acumulan, y que, de hecho, $f'$ es continua a distancia desde el origen. Ahora $$0\le f_n\le\chi_{[2^{-n}-100^{-n},\infty)};$$this shows that $$0\le f(t)\le ct^2$$near the origin, so $f$ is differentiable at the origin. So $f$ es derivable.
Desde $f_n'\ge0$ se sigue que $$\sigma_{2^n}(f')\ge 2^{-n}f'(2^{-n})
\ge 8^{-n}f_n'(2^{-n})=(100/8)^n.$$So $$2^{-n}\sigma_{2^n}(f')\to\infty,$$showing that $\lim\frac1{2n}\sigma_n(f')$ no existe.
Prueba, usando la continuidad de $f'$:
Deje $\epsilon>0$. Desde $f'$ es uniformemente continua existe $N$ tal que $$|f'(t)-f'(s)|<\epsilon\quad(|t-s|<1/N).$$
Suponga que $n>N$. Deje $a=\int_0^1 f(t)\,dt$. Ahora
$$\sigma_n(f)-a=\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)/n}^{k/n}(f(k/n)-f(t))\,dt.$$If $t\in[(k-1)/n,k/n]$ then $$\begin{align}f(k/n)-f(t)&=\int_t^{k/n}f'(s)\,ds
\\&=(k/n-t) f'(k/n)+\int_t^{k/n}(f'(s)-f'(k/n))\,ds\\&=(k/n-t)f'(k/n)+E_{n,k}(t),\end{align}$$donde
$$|E_{n,k}(t)|<\frac\epsilon n.$$So $$\int_{(k-1)/n}^{k/n} (f(k/n)-f(t))
=\frac1{2n^2}f'(k/n)+\int_{(k-1)/n}^{k/n}E_{n,k}(t)\,dt.$$Inserting this above shows that $$\sigma_n(f)-a=\frac1{2n}\sigma_n(f')+\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)/n}^{k/n}E_{n,k}(t)\,dt$$and$$\left|\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)/n}^{k/n}E_{n,k}(t)\,dt\right|<\frac\epsilon n.$$
