no. de raíces reales de la ecuación$ 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+............+\frac{x^7}{7} = 0$

Question

Los que no. de las raíces reales de la ecuación de $\displaystyle 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+............+\frac{x^7}{7} = 0 $

$\bf{My\; Try::}$ Primer lugar vamos a encontrar la naturaleza de la gráfica de la función $\displaystyle 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+............+\frac{x^7}{7}$

Por Lo $$\displaystyle f(x) = 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+............+\frac{x^7}{7}.$$ Luego Se Diferencian

tanto el lado w . r a $x\;,$ obtenemos $$\displaystyle f'(x)=1+x+x^2+x^3+..........+x^6$$

Ahora para max. Mínimo y Poner $$f'(x) = 0\Rightarrow 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 = 0$$

Podemos escribir $f'(x)$ $$\displaystyle \left(x^3+\frac{x^2}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x^4+x^3+x^2+x+1$$

Por lo $$\displaystyle f'(x) = \left(x^3+\frac{x^2}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\left[3x^4+4x^3+4x^2+4x+4\right]$$

Por lo $$\displaystyle f'(x) = = \left(x^3+\frac{x^2}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\left[\left(\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x\right)^2+(x^2)^2+2(x+1)^2+2\right]>0\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Por lo $f'(x) = 0$ no tiene raíces reales. Así que el Uso de $\bf{LMVT}$ $f(x) = 0$ tiene más de una raíz.

De hecho, $f(x) = 0$ tiene exactamente una raíz bcz $f(x)$ es de impar de grado del polinomio y se

cruzaremos $\bf{X-}$ eje al menos una vez.

Mi pregunta es ¿podemos resolver de otra manera, yo. e sin el uso de Derivados de la prueba.

Me ayude , Gracias

Answer 1

$f(x) = 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+............+\frac{x^7}{7}.$ , Por lo que, como nota,

$f'(x)=1+x+x^2+x^3+..........+x^6$. Ahora considere el $x$ en tres rangos de

1. Para$x \ge 0$, claramente $f'(x) >0$
2. Para $ -1 \le x < 0$, $f'(x)=(1+x) + (x^2+x^3) + (x^4+x^5) + x^6$. Cada término entre corchetes es no negativo, y $x^6$ es positivo, por lo $f'(x) >0$
3. Para $x < -1$, $f'(x)=1 +(x + x^2) +(x^3 + x^4) +( x^5 + x^6)$. De nuevo, cada término entre corchetes es positivo, $f'(x) >0$

De que a la conclusión de que $f(x) $ es monótona creciente en función y por lo tanto puede tener en la mayoría de 1 a cero.

Finalmente, como $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$ y como $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$ así que por la continuidad de $f(x) $ debe tener al menos un cero, y a partir de la anterior, por lo tanto, tiene exactamente un cero.

Answer 2

La forma más sencilla de ver que solo puede tener una raíz real es IMO para ver el derivado. Para ello utilizamos la fórmula para una suma geométrica $$ f '(x) = 1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ 6 = \ frac {x ^ 7-1} {x-1} $$ mostrando que$f'(x)>0$ siempre que$x\neq1$, porque el numerador y el denominador cambian los signos solo en$x=1$. Por supuesto, $f'(1)=7>0$. Por lo tanto, la función está aumentando en todas partes y no puede tener más de un cero. Como observaste, siendo un polinomio de grado impar, claramente tiene al menos un cero.

Answer 3

Tenga en cuenta que$(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)$ tiene$z, z^2,z^3,z^4,z^5,z^6$ como raíces, por lo tanto, f (x) debe tener casi una raíz real (MVT)

Answer 4

<blockquote> <p>Un polinomio impar tiene al menos una raíz real es debido a que las raíces complejas vienen en conjugado si $\alpha$ es una raíz compleja de un polinomio entonces $\overline{\alpha}$ es también una raíz.</p> </blockquote>