Demuestra que 2 rectas se cruzan en la circunferencia

Question

Tengo un problema de geometría que pide demostrar que 2 rectas se cruzan en la circunferencia de un círculo. Es así:

Hay 2 círculos, $O_1$ y $O_2$ con centros $A$ y $B$ respectivamente, con el $A$ situada en la circunferencia de $O_2$ . Un punto $P$ se elige en $O_2$ para que no esté en $O_1$ . Una línea tangente a $O_1$ a través de $P$ conozca $O_1$ en $S$ y se cruza con $O_2$ de nuevo en $Q,$ con $Q$ y $P$ en el mismo lado de $AB$ . Una línea a través de $Q$ es tangente a $O_1$ de nuevo en $T$ . Un punto $M$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a $AB$ . Demostrar que $MT$ se cruza con $PS$ en $S$ .

Intenté utilizar el teorema de la cuerda tan y unir las intersecciones de $O_1$ y $O_2$ y uniendo $A$ y $B$ con los puntos de tangencia, y luego encontrar ángulos iguales utilizando triángulos isósceles, pero no pude llegar a ninguna parte a partir de ahí.

¿Existe una forma general de demostrar que 2 rectas se cortan en la circunferencia?

Answer 1

Básicamente, lo que tiene que demostrar es que $M, T, S$ se encuentran en la misma línea. En general, la colinealidad puede demostrarse de varias maneras, una de las más sencillas es con ángulos: demuestre que $\angle ATM + \angle ATS = 180^\circ$ .

PASOS:

1. Sea $QT$ intersect $O_2$ de nuevo en $N$ . Demostrar que $N$ es el reflejo de $P$ a través de $AB$ (alternativamente que $\angle AMN = 90^\circ$ o que $\widehat{AP} = \widehat{AN}$ Estoy usando sombreros para denotar medidas de arco). Puedes hacerlo considerando los ángulos $\angle AQT = \angle AQS$ y los arcos que subtienden en $O_2$ .

2. Demuestra que $\Delta AQT \sim \Delta APM$ demostrando que $\angle AQT = \angle APM$ (subtienden un arco común $\widehat{AN}$ que era el objetivo del paso 1).

3. Demuestra que $\Delta AQP \sim \Delta ATM$ utilizando un cociente lateral de la similitud en el paso anterior, junto con $\angle QAP = \angle TAM$ (que no es más que una reordenación de $\angle QAT = \angle PAM$ ).

4. Ahora tienes $\angle AQP = \angle ATM$ . Junto con $\angle AQS = \angle ATS$ (que puede obtenerse de muchas maneras, como por ejemplo demostrando que $ATQS$ es cíclico), finalmente se tiene $\angle ATM + \angle ATS = \angle AQP + \angle AQS = 180^\circ$ .