función de partición para la cadena polimérica

Question

Suponiendo que tengo una cadena lineal con polímero de $N$ partículas idénticas (que interactúan armónicamente con la partícula adyacente) con la posición de la primera y la última partícula fijas, ¿cómo encuentro la función de partición del polímero?

Esto es lo que pensé, $\vec p_i$ siendo el momento del polímero y $\vec r_i$ siendo la posición de $i$ elemento del polímero, el Hamiltoniano de cada partícula viene dado por $$H = \sum_{i=1}^N\frac {p_i^2} {2m} + k\sum_{i=1}^{N-1}(r_{i+1}-r_i)^2$$ La función de partición (para el sistema canónico discreto) viene dada por $$Q_N = \sum_{\{x\}}^n e^{-\beta H_{x}} = \prod_{i=2}^{N-1} e^{-\beta \frac{p_i^2}{2m}}\prod_{i=1}^{N-1} e^{-\beta k (r_{i+1}-r_i)^2}$$ No puedo ir más allá. Se agradece cualquier comentario.

Answer 1

El hamiltoniano para todo el sistema puede ser dado por: $$H_{total}=\sum_{i=1}^{N-2}\frac{p_i^2}{2m}+\sum_{j=1}^{N-1}\frac{k(\gamma-x_j)^2}{2}$$ Donde los términos de momento provienen de las masas de la cadena y el potencial proviene de los muelles. La dirección $\gamma-x$ proviene de la desviación de cada muelle de su posición de equilibrio, con $x=\gamma$ dando el punto con $0$ potencial.

La probabilidad de que el sistema (en contacto térmico con el entorno a temperatura $T$ ) con una energía $E$ viene dado por: $$q(E)=\frac{1}{Z}e^{-\beta H}$$ Dónde $\beta=\frac{1}{k_B T}$ . La función de partición $Z$ viene dada por la integración sobre el espacio de fases del hamiltoniano total del sistema. Afortunadamente, este hamiltoniano puede factorizarse con bastante facilidad. $$Z=\int_{p,x}e^{-\beta\sum_{1}^{N-2}\frac{p^2}{2m}}e^{-\beta\sum_{1}^{N-1}\frac{k(\gamma-x)^2}{2}}dp\ dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{\beta(2-N)}{2m}p^2}dp\int_{0}^{\infty}e^{\frac{\beta(1-N)k}{2}(\gamma-x)^2}dx$$

La primera es una gaussiana ( $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ ), y el segundo necesita un pequeño masaje.

Después de integrar el impulso obtenemos: $$Z=\sqrt{\frac{2\pi m}{\beta(N-2)}}\int_0^{\infty}e^{-\frac{\beta(N-1)k}{2}(x-\gamma)^2}dx$$

Cambiar la variable $x-\gamma$ à $q$ obtenemos $dx=dq$ y los límites son $\int_{-\gamma}^{\infty}$ . Esta segunda integral necesita la función de error calcular, debido al límite inferior distinto de cero. Cambia las constantes de la exponencial a una forma más fácil de manejar - $\frac{\beta(N-1)k}{2}=\alpha$ :

$$Z=\sqrt{\frac{2\pi m}{\beta(N-2)}}\int_{-\gamma}^{\infty}e^{-\alpha q^2}dq=\sqrt{\frac{2\pi m}{\beta(N-2)}}\sqrt{\frac{\pi}{4\alpha}}(1-erf(-\gamma\sqrt\alpha))$$ Por fin: $$Z=\frac{\pi}{\beta}\sqrt{\frac{m}{k(N-1)(N-2)}}(1-erf(-\gamma\sqrt{\frac{\beta(N-1)k}{2}}))$$

Aquí se pueden hacer algunas aproximaciones. Si $N$ es grande, entonces tenemos $(N-1)(N-2)\approx N^2$ y $N-1\approx N$ : $$Z_{large\ N}\approx \frac{\pi}{\beta N}\sqrt{\frac{m}{k}}(1-erf(-\gamma\sqrt{\frac{\beta N k}{2}}))$$ Utilizando una aproximación para la función de error a partir de wikipedia podemos obtener $Z$ en funciones analíticas. Utilizando $x=-\gamma\sqrt{\frac{\beta N k}{2}}$ y asumiendo $\gamma$ es siempre positivo, obtenemos: $$Z=\frac{\pi}{\beta N}\sqrt{\frac{m}{k}}(1-\sqrt{1-exp(-x^2\frac{\frac{4}{\pi}+ax^2}{1+ax^2})})$$ Dónde $a=\frac{8(\pi-3)}{3\pi(4-\pi)}$ .