Demostrar que .

Question

Que $\mathbb{R}^2=Span{\alpha,\beta,\gamma}$. ¿Alguien sabe cómo probar que si existe una transformación lineal $T: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ tal que $T(\alpha)=\beta, T(\beta)=\gamma, T(\gamma)=\alpha$, el % es $\alpha+\beta+\gamma=0$?

Answer 1

$\{\alpha,\beta,\gamma\}$ es linealmente dependiente (de lo contrario $\dim(\mathbb{R}^2)=3$, una contradicción) lo $c_1\alpha+c_2\beta+c_3\gamma=0$ donde $c_1,c_2,c_3$ no son todos cero.

A continuación, $0=T(c_1\alpha+c_2\beta+c_3\gamma)=c_1T(\alpha)+c_2T(\beta)+c_3T(\gamma)=c_1\beta+c_2\gamma+c_3\alpha$

Del mismo modo, podemos obtener $0=c_1\gamma+c_2\alpha+c_3\beta$

La adición de estos obtenemos $(c_1+c_2+c_3)(\alpha+\beta+\gamma)=0$

¿Crees que se puede demostrar que los $c_1+c_2+c_3\ne 0$? Os animo a descubrirlo por ti mismo, así que voy a mostrar esto en un spoiler.

Desde $\mathrm{span}\{\alpha,\beta,\gamma\}=\mathbb{R^2}$ tenemos que el espacio columna de la matriz $A=\begin{bmatrix}\alpha&\beta&\gamma \end{bmatrix}$ tiene dimensión $2$. Por lo $\mathrm{nullity}(A)=1$ por el Rango-Nulidad Teorema. Por lo tanto, la nullspace de $A$ es generado por un vector. Pero sabemos que $[c_1,c_2,c_3]^T$, $[c_3,c_1,c_2]^T$, y $[c_2,c_3,c_1]^T$ son cero vectores en el nullspace de $A$, por lo que todos ellos deben ser paralelas. A partir de esto, podemos encontrar fácilmente que $c_1=c_2=c_3$ y no todos son cero, por lo $c_1+c_2+c_3\ne 0$

Answer 2

Puesto que en $\mathbb{R}^2$ no puede tener más de dos vectores linealmente independientes, por lo tanto si un vector de $$Span{\alpha,\beta,\gamma}=\mathbb{R}^2$ $ debe ser una combinación lineal de dos.

Vamos a excluir los casos triviales con 2 vectores colineales, asumir wlog:

$$\gamma = a\alpha + b\beta$$

$a,b\neq0$

Por definición de T:

$$\gamma=T(\beta)=T(\frac1b \gamma-\frac{a}{b}\alpha)=\frac1b \alpha-\frac{a}{b}\beta$$

Puesto que la representación de $\gamma$ es única:

$$a=\frac1b$$

$$b=-\frac{a}{b}$$

$$\implies a=b=-1 \implies \alpha+\beta+\gamma=0 \quad \square$$

Answer 3

Primero, $T^3=I$. Así el polinomio mínimo es $p\in\mathbb R[t]$, $\deg(p)\le2$, y los que se divide de $p$ $$t^3-1=(t-1)(t^2+t+1).$ $ desde $t^2+t+1$ es irreducible en $\mathbb R[t]$, el polinomio mínimo es $t-1$ o $t^2+t+1$. $T\ne I$. Así, el polinomio mínimo es $t^2+t+1$.

Por lo tanto, $$\alpha+\beta+\gamma=(I+T+T^2)\alpha=0.$ $

Answer 4

Supongamos que wlog $\alpha$ y $\beta$ como base y $\gamma=a\alpha+b\beta$, por lo tanto T es representados por:

$$A=\begin{bmatrix}0 & a \ 1 & b\end{bmatrix}\implies T(\gamma)=\begin{bmatrix}0 & a \ 1 & b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \ b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ab \ a+b^2\end{bmatrix}=\alpha=\begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix}$$

Es decir

$$\begin{cases}ab=1\a+b^2=0\end{cases}\implies\begin{cases}a=\frac1b\b^3+1=0\end{cases}\implies a=b=-1\implies \alpha+\beta+\gamma=0 \quad \square$$

NOTA

Puesto que ab = 1, casos triviales con un = 0 o b = 0 se excluyen.