¿Cuál es el campo División de $x^3 - \pi$?

Question

¿Cuál es el campo División de $x^3 - \pi$? ¿Es $\mathbb R(\sqrt[3] \pi, \xi_3)$ o $\mathbb Q(\sqrt[3] \pi, \xi_3)$? (donde $\xi_3$ denota la tercera raíz de la unidad)

Es un polinomio sobre $\mathbb R[x]$, así que supongo que debe ser $\mathbb R(\sqrt[3] \pi, \xi_3)$, pero nunca vi tal extensión.

Answer 1

$\sqrt[3]\pi$ Ya es un elemento de $\mathbb R$ y $\xi_3=-\frac12\pm i\frac{\sqrt{3}}2$, el campo división es simplemente $\mathbb C$. De hecho, $\mathbb R$ y $\mathbb C$ son los únicos candidatos para extensiones algebraicas de $\mathbb R$.

Answer 2

Como ya se ha comentado, la cuestión es que falta una pieza esencial de la información, el campo de tierra.

Para conseguir algo no trivial de la pregunta, el campo de tierra probablemente debería ser $\mathbb Q(\pi)$. Ahora el siguiente razonamiento funciona:

Cualquier $a\in\mathbb Q(\pi)$ tiene la forma $a = \frac{f(\pi)}{g(\pi)}$ con $f,g\in \mathbb Q[x]$, $g\neq 0$. Si $a^3 = \pi$,$f(\pi)^3 - \pi g(\pi)^3 = 0$. Por lo $\pi$ es una raíz del polinomio $f(x)^3 - xg(x)^3\in\mathbb Q[x]$. Desde $g\neq 0$, este no es el polinomio cero. Esta es una contradicción, porque $\pi$ es conocido por ser trascendental $\mathbb Q$.

Por lo $x^3 - \pi$ es irreducible en a $\mathbb Q(\pi)[x]$. Deje $K$ ser su división de campo. Tenemos que $[K : \mathbb Q(\pi)]$ divide $3! = 6$, y por la irreductibilidad, $[K : \mathbb Q(\pi)]$ es un múltiplo del grado $3$. De $\mathbb Q(\pi) \subset \mathbb R$ y el hecho de que $x^3 - \pi$ tiene ceros en $\mathbb C\setminus\mathbb R$, el complejo de la conjugación incluye una Galois automorphism de orden $2$, lo $[K : \mathbb Q(\pi)]$ es también un múltiplo de $2$. Esta muestra $[K : \mathbb Q(\pi)] = 6$.

Haciendo uso de las raíces $\zeta^i\sqrt[3]{\pi}$ ($\zeta$ una primitiva de la tercera raíz de la unidad; $i=0,1,2$) de $x^3 - \pi$, $K$ se puede representar de forma explícita como $$K = \mathbb Q(\sqrt[3]{\pi},\zeta\sqrt[3]{\pi}) = \mathbb Q(\sqrt[3]{\pi}, \zeta).$$ Por el grado de la extensión, ninguno de estos generadores pueden ser abandonado (ni sustituido por $\pi$).