Muy difícil radio de convergencia con un sumando no monotónicas,

Question

Edit: sugerencias o soluciones son bienvenidos.

Esta pregunta es algo raro que no lo he visto antes, así que no tengo mucho de un punto de partida - hadamard radio de convergencia de la fórmula, tampoco parece útil. La serie es:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \cos(\alpha(\sqrt{1+n^2}))z^n$$

La pregunta de dos partes:

¿Cuál es el radio de convergencia de la si $\alpha$ es cualquier número real? Lo que si $\alpha$ es un número complejo?

Este es un antiguo complejo de la prueba de análisis de la pregunta, así que creo que la raíz cuadrada es complejo si $\alpha$ es real o complejo.

Gracias,

Answer 1

Algunos consejos para real $\alpha$:

Desde $|\cos(\alpha\sqrt{n^2 + 1})| \leq 1$ % todo $n$, el radio de convergencia es menos $1$.

Para mostrar que es exactamente $1$, demuestran que los términos cuando $z = 1$ no va a cero. Para esta, exposición que $|\cos(\alpha\sqrt{n^2 + 1})| \sim |\cos(\alpha n)|$ y el $\alpha n$ repetidamente va cerca de múltiplos de $\pi$ $n$ aumenta.