Supongamos que tengo un suave parabólico de la superficie en el plano xy, $y=-x^2$, y hay una pelota en mantenerse en la superficie en $(0,0)$. ¿A partir de qué velocidad debo darle a la pelota, tangencialmente, de modo que se pierde el contacto con la superficie de la siguiente instante? [Suponiendo que la superficie y la pelota se mantienen normalmente en la Tierra.]
Pensé en la aproximación de la parábola con un círculo como entonces podemos usar $\frac{mv^2}{R} > mg$, tomando $R=\frac12$ como el radio de curvatura. Sin embargo, no estoy seguro de que esto es correcto, porque por ejemplo, tenemos la aproximación a la línea tangente, que harían $v$ infinito.
Así que mi pregunta es, ¿se puede utilizar el radio de curvatura aquí? Si sí, entonces ¿por qué dar la respuesta exacta? Y si no, ¿cómo puedo solucionar esto?
Agregado: Si tomamos la parábola como un círculo localmente, entonces se tendría un radio de $R$, y las fuerzas que actúan sobre la pelota iba a ser $mg$ hacia abajo y $N$ (normal) hacia arriba. Ahora, $v$ la velocidad tangencial debe ser suficiente como para que la fuerza resultante es mayor que $\frac{mv^2}{R}$, así como para asegurar que el balón no continuar en una trayectoria circular en el instante siguiente. Así tenemos a $mg - N < \frac{mv^2}{R}$. Por lo tanto, $mg < \frac{mv^2}{R} $, incluso si es normal iban a ser cero.
