Organizando las letras de la palabra EDUCACIÓN, de modo que se cumplan las siguientes condiciones

Question

¿Cuántas formas hay de organizar las letras de la palabra EDUCATION, de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

• Las vocales aparecen en el mismo orden
• Las consonantes aparecen en el mismo orden
• ninguna consonante está al lado de otra

Mi enfoque:

Supongamos que arreglo las consonantes y se ve así
_D_C_T_N_
Ahora necesitamos organizar las vocales en el mismo orden en que aparecen en la palabra original (se están colocando en las rayas bajas)

Ahora, observe que hay $5$ rayas bajas y un total de vocales $=5$

Entonces, el problema se reduce a lo siguiente:

Encuentre todas las soluciones enteras a la ecuación:$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5,$$ donde $x_2,x_3,x_4$ no son iguales a $0$

Dije que $x_2,x_3,x_4$ no son iguales a $0$, porque ninguna consonante está al lado de otra, pero $x_1$ y $x_5$ pueden ser $0$.

Ahora esto es una modificación del famoso problema de Estrellas y Barras. ¿Cómo continuar desde aquí?

Answer 1

Es posible usar estrellas y barras sin modificar considerando primero las vocales :

 ` _ E _ U _ A _ I _ O _
` 

donde cada guion bajo puede contener como máximo una consonante. Inmediatamente vemos que la respuesta a la pregunta es $\binom{6}{4}=15$.