Obtener el mayor natural que divide $n^2(n^2 - 1)(n^2 - n - 2)$ % de los números naturales todos $n$.
¿Cuál debe ser el enfoque en este tipo de preguntas?
¿Debería compararse con facturización $2^a 3^b 5^c \cdots$ etcetera?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
David HAust
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2696
Por abajo, $\,2^{4}!\cdot! 3\,$ es el entero más grande no dividiendo todas las $\rm\:f(n).\:$ ningún poder mayor de $2$ o $3$ divide todas las $\rm\,f(n)\,$ por el valor de $\rm\,f(13),$ y no % prime $\rm\,p\ge 5\,$divide todas las $\rm\,f(n)\,$ por el valor de $\rm\,f(p!+!3).$ $\quad$ $ $\quad\begin{eqnarray}\rm 2^4\cdot 3\:|\: f(n) &=&\rm\ \ \color{#C00}{(n!+!1)\ n}\ \ (n!+!1)n(n!-!1)(n!-!2)\ &=&\rm\ \color{#C00}{2{n+1\choose 2}}\, 24{n+1\choose 4}\ \rm 2^{ 5},\,3^2\nmid\, f(13) &=&\rm\ 14^{!\ 2}\ 13^{!\ 2}\ 12\ \ 11 =\, 2^{ 4}\ 3\,\cdots\ \rm prime\,\ p\nmid f(p!+!3) &=&\ \rm (p!+!4)^2 (p!+!3)^2 (p!+!2) (p!+!1)\ \ if\ \ p\ge 5 \end{eqnarray}$$
Oli
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89
Factor $(n-2)(n-1)n^2(n+1)^2$. Es fácil ver que no prime mayor que $3$ debe dividir este producto. (Por si $p$ es un primo mayor que $3$, vamos a $n-3=p$.)
Nuestro producto es obviamente divisible por $3$. Eligiendo $n-1=3$, podemos asegurarnos de que la $3^2$ no dividir nuestro producto.
Para minimizar el poder de la $2$ que divide nuestro producto, haremos $n-2$ (respectivamente, $n-1$) divisible por $4$, pero no por $8$. A continuación, $n^2$ (respectivamente, $(n+1)^2$) es divisible por $4$, pero no por $8$. Por lo tanto $2^4$ debe dividir nuestro producto, y un mayor poder de $2$ no es necesario.
Llegamos a la conclusión de que el mayor entero positivo que siempre divide nuestro producto es $(3^1)(2^4)$.
