¿Cómo demostrar que un mapa lineal es sobreyectivo?

Question

Lo siento si esto es algo duplicado. Las respuestas que veo tratan de funciones en general y no de mapas lineales.

Dejemos que $T$ sea un mapa lineal de $U$ a $V$ .
Entiendo que por definición un mapa lineal es inyectivo si cada elemento del rango es mapeado allí por un único vector del dominio. Esto es fácil de demostrar eligiendo dos vectores $u$ y $v$ en $U$ y demostrando que si $T(u)=T(v)$ entonces $u=v$ .

Pero para un mapa lineal sobreyectivo, no parece que haya algo sencillo como esto que podamos hacer? Tenemos que demostrar que el rango $(T)=V$ . ¿Cómo se hace esto?

EDIT: Como ejemplo concreto, supongamos que tenemos $T\in L(F^\infty \rightarrow F^\infty)$ definido por $T(x_1,x_2,x_3,\dots) = (x_2,x_3, \dots)$ . ¿Cómo podemos demostrar que esto es sobreyectivo? ¿Es suficiente con:

Supongamos que $w\in W$ , donde $w=(w_1, w_2, \dots)$ . Entonces dejemos que $u=(a, w_1, w_2)$ para algunos $a\in F$ . ¿Y eso es todo lo que necesitamos?

Answer 1

Si se trata de espacios de dimensiones finitas, la clave es la relación:

$$\tag{1} \dim U = \dim \mbox{im} T +\dim \ker T \; .$$

Si sabe cómo evaluar $\dim \ker T$ , entonces puede comparar fácilmente $\dim V$ con $\dim \mbox{im} T=\dim U-\dim \ker T$ y su mapa será sobreyectivo si $\dim V =\dim \mbox{im} T$ .

Quiero señalar también una consecuencia directa de (1). Si $U$ y $V$ son ambos de dimensión finita y ambos tienen la misma dimensión, entonces hay equivalencia entre ser inyectivo y ser sobreyectivo para los mapas lineales, es decir, un mapa lineal $T:U\to V$ es inyectiva si es sobreyectiva.

Por otro lado, AFAIK, cuando se trata de espacios de dimensión infinita las pruebas de subjetividad no se pueden acortar mediante el uso de trucos: en general, uno tiene que demostrar que para cada $v\in V$ existe $u\in U$ s.t. $v=Tu$ .

Answer 2

Para la subjetividad, hay que demostrar que para cada $v \in V$ existe un $u \in U$ tal que $T(u) = v$ .