¿Qué isomorfismo de anillos de coordenadas corresponde a isomorfismos de variedades afines?

Question

Considere la siguiente afirmación:

Dejemos que $X \subset k[x_1,\dots,x_n]$ y $Y\subset k[y_1,\dots,y_m]$ sean conjuntos algebraicos y supongamos que tenemos un isomorfismo de anillo $\varphi: \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ . Demuestre que los conjuntos algebraicos $X$ y $Y$ son isomorfas.

Ahora, sé que si $\varphi$ es un isomorfismo de $k$ -entonces $X$ y $Y$ son isomorfas. Y sé que cualquier isomorfismo de $k$ -es también un isomorfismo de los anillos subyacentes.

Pregunta: Sin embargo, ¿no es cierto que no todos homomorfismo de anillo $\varphi: \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ es un $k$ -homomorfismo de álgebra $\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ y que sólo $k$ -homomorfismos de álgebra $ \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ corresponden a morfismos $X \to Y$ , no homomorfismo de anillo arbitrario $\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ ?

En otras palabras, ¿cuál de las dos afirmaciones siguientes es correcta? ¿Son incluso mutuamente excluyentes? ¿O son equivalentes? Si son equivalentes, ¿por qué?

Dos conjuntos algebraicos son isomorfos si y sólo si sus anillos de coordenadas son isomorfos como anillos.

O

Dos conjuntos algebraicos son isomorfos si y sólo si sus anillos de coordenadas son isomorfos como $k$ -algebras.

Contexto: Mi libro en las secciones 4.18 y 4.19, así como esta pregunta en Math.SE implica que la primera afirmación es verdadera. Sin embargo, la sección 4.8 del mismo libro y cada otra fuente que he encontrado (por ejemplo aquí o aquí ), sólo implica que la segunda afirmación es verdadera. Además, sólo he podido demostrar la segunda afirmación, no la primera. ¿Cuál es la correcta?

Esta es la continuación de mi pregunta anterior En el caso de la pregunta de la Sra. Kolman, se trataba de demostrar que ambas afirmaciones se excluyen mutuamente y no son equivalentes. Sin embargo, no se respondió, así que no sé si mi intento tuvo éxito: por lo que sé, las dos afirmaciones podrían ser equivalentes. Si es así, ¿por qué?

EDITAR: Lo que mostré en mis notas, y se acordó que era cierto en los comentarios es que:

Existe una correspondencia unívoca entre los morfismos $X \to Y$ y homomorfismos de anillo $\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ . ( FALSO )

Existe una correspondencia unívoca entre los morfismos $X \to Y$ y $k$ -homomorfismos de álgebra $\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X$ . ( TRUE )

Answer 1

Intento: La antiequivalencia de $k$ -y variedades afines (1) (2 pp.3-4) , nos da automáticamente eso:

Dos conjuntos algebraicos son isomorfos si y sólo si sus anillos de coordenadas son isomorfos como $k$ -algebras. ( TRUE )

Ahora bien, hay que tener en cuenta que, dado que cualquier $k$ -es un homomorfismo de anillo cuando ignoramos la multiplicación escalar, cualquier $k$ -El isomorfismo de álgebra es también un isomorfismo de anillo, por lo que lo anterior implica que:

$$\text{[two algebraic sets isomorphic }\iff\text{ coordinate rings $ k $-algebra isomorphic]}\\ \implies \text{[coordinate rings are ring isomorphic]}$$

Así que la única pregunta real que queda es la siguiente:

[los anillos de coordenadas son anillos isomorfos] $\overset{?????}{\implies}$ Los anillos de coordenadas son $k$ -álgebra isomorfa]

Según los comentarios, esto podría ser cierto, ya que dado un homomorfismo de anillo, siempre podríamos "retorcerlo" (supongo que bajo la acción del grupo de Galois de $k$ ) en ser un $k$ -homomorfismo de álgebra. Se agradecerá cualquier referencia que confirme o desmienta esto. ( Véase también. ) También lo harían los comentarios sobre mi falsa prueba de esta afirmación a continuación.

"Prueba" de ?????: Generalizando desde los anillos de coordenadas a las álgebras unitales asociativas arbitrarias, podemos escribir ( ver para la notación ) la condición para un homomorfismo de anillo $A \to B$ para ser también un $k$ -como un homomorfismo de álgebra $\varphi \circ \eta_A = \eta_B$ . Supongamos ahora que $\varphi: A \to B$ no es a $k$ -pero sigue siendo un isomorfismo de anillo, es decir $\varphi \circ \eta_A \not= \eta_B$ . Desde $\eta_A(k)$ es un campo, y $\varphi |_{\eta_A(k)}$ es un homorfismo de anillo con un campo como dominio, es inyectivo, y por tanto $\varphi(\eta_A(k))$ es también un campo isomorfo a $k$ aunque de forma diferente a $\eta_B(k)$ (serían los mismos si $\varphi$ eran un $k$ -homomorfismo de álgebra).

Para resumir, $k \cong \eta_A(k) \cong \varphi(\eta_A(k)) \cong \eta_B(k)$ con ninguno de ellos igual (sólo isomorfos como campos/anillos). Definir: $$ \DeclareMathOperator*{\rl}{\rightleftharpoons} k \rl\limits_{\Upsilon^{-1}}^{\Upsilon} \eta_A(k)\,, \quad k\rl\limits_{\theta^{-1}}^{\theta} (\varphi\circ\eta_A)(k)\,, \quad k \rl\limits_{\zeta^{-1}}^{\zeta} \eta_B(k)\,, \quad \eta_A(k) \rl\limits_{\omega^{-1}}^{\omega} \eta_B(k)$$

De ello se desprende que $\theta^{-1} \circ \varphi \circ \Upsilon$ y $\zeta^{-1} \circ \omega \circ \Upsilon$ son dos diferentes automorfismos de $k$ ya que $\varphi \circ \eta_A \not=\eta_B$ . (En particular, si $k$ tuviera un grupo de Galois trivial, tendríamos una contradicción, por lo que si $k$ tiene grupo de Galois trivial, todo homomorfismo de anillo $A \to B$ también es un $k$ -homomorfismo de álgebra).

(No estoy muy seguro de si $\varphi \circ \eta_A \not= \eta_B$ realmente implica que los dos automorfismos anteriores no son iguales, si lo hace, entonces me estoy saltando el paso que justifica la afirmación, y si no lo hace, entonces lo anterior es el punto donde todo el argumento se cae).

Para simplificar, definiremos $\alpha = \theta^{-1} \circ \varphi \circ \Upsilon : k \to k$ y $\beta= \zeta^{-1}\circ \omega \circ \Upsilon : k \to k$ .

Afirmación especulativa: Definir $\tilde{\varphi} = \zeta\circ\beta\circ\alpha^{-1}\circ\theta^{-1}\circ\varphi|_{\eta_A(k)} : \eta_A(k) \to \eta_B(k) $ .

Entonces $\tilde{\varphi} \circ \eta_A = \eta_B$ . (Realmente especulativo) $\tilde{\varphi}$ puede tener su dominio extendido a todo el $A$ y denotando la extensión por el mismo símbolo, tenemos que $\tilde{\varphi}: A \to B$ no es sólo un homomorfismo de anillo, sino incluso un $k$ -(ya que $\tilde{\varphi} \circ \eta_A = \eta_B$ ). Además afirmo (sin justificación) que si $\varphi$ es un isomorfismo de anillo, entonces $\tilde{\varphi}$ es también un isomorfismo de anillo, por lo que a $k$ -algebra isomorfismo.

Así podemos "retorcer" cualquier homomorfismo de anillo arbitrario $\varphi: A \to B$ mediante la acción del grupo de automorfismo/Galois de $k$ en un $k$ -homomorfismo de álgebra $\tilde{\varphi}:A \to B$ de tal manera que la existencia de un isomorfismo de anillo $A \to B$ implica la existencia de un $k$ -algebra isomorfismo $A \to B$ .

Por lo tanto, [los anillos de coordenadas son isomorfos] $\implies$ [anillos de coordenadas $k$ -álgebra isomorfa].