Encuentre$u'(0)$ donde$u(t) = f(2009t, t^{2009})$ dado el diferencial de$f$ en$0$

Question

Estoy teniendo problemas con este ejercicio, probablemente no tengo suficiente información teórica. ¿Cómo me acerco a esto?

Deje que$f : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ donde$f$ - se pueda diferenciar en$0$ y$df(0)(h) = 2h_{1}-7h_{2} $ para$h\in\mathbb{R}^2.$ Let$u : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : u(t) = f(2009t, t^{2009})$. Encontrar $u'(0)$

¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

$$u(0) = f(0,0)$ $$$u'(t) = \frac{d u}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{d x}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{d y}{dt}$ $$$u'(0) = 2\cdot2009 -7 \cdot 2009(0)^{2008} = 4018$ $

Answer 2

En primer lugar, en respuesta a nbubis comentario: $df(0)h$ es de suponer que el diferencial de $f$ a cero, se expresa como un elemento de la cotangente del espacio a$R^2$$0$, es decir, como un funcional lineal de $R^2$ (que por cierto es dijo la cotangente del espacio) a $R$, evaluada en el vector tangente $h$. Por lo tanto si $h = (h_1, h_2)$ es un vector tangente a$R^2$$0$, el problema especifica que esta lineal funcional es $2h_1 - 7h_2$.

A la luz de lo anterior, ya que en general $df = \frac{\partial f} {\partial x}dx + \frac{\partial f} {\partial y}dy$, donde $x$, $y$ son el estándar de las coordenadas en la $R^2$,$\frac{\partial f} {\partial x}(0) = 2$$\frac{\partial f} {\partial y}(0) =-7$; simplemente leer estos valores fuera de la expresión dada $df(0)(h) = 2h_1 - 7h_2$. A continuación, se deduce de la regla de la cadena que $u'(0) = {\frac{\partial f} {\partial x}}(0)[{\frac {d(2009t)}{dt}}]_{t = 0} + {\frac{\partial f} {\partial y}}(0)[{\frac{d(t^{2009})}{dt}}]_{t = 0}$, o por un simple cálculo, $u'(0) = 2(2009) - 7(0) = 4018$.