Es cada noninvertible matriz de un divisor de cero?

Question

Es cada noninvertible matriz sobre un campo de un divisor de cero?

Con relación a esto: ¿cuáles son las condiciones suficientes para que una matriz sea un divisor de cero de más de una no conmutativa anillo?

Answer 1

Nuevo y mejorado: Si $A$ es singular que podemos obtener $AB=BA=0$ con no más de trabajo.

Original Sí. Si $A$ es una singular plaza de la matriz, a continuación, existe un no-vector cero $v$$Av=0$. Así que si $B$ es la matriz cuadrada que tiene cada columna igual a$v$$AB=0$.

Mejor Hay un no-cero "vector columna" $v$$Av=0$. También hay un no-cero "vector fila" $w$$wA=0$. Deje $B=(b_{jk})$ donde $b_{jk}=v_jw_k$. A continuación, cada fila de $B$ es un múltiplo de a $w$ y cada columna de $B$ es un múltiplo de a $v$, lo $BA=AB=0$.

Answer 2

Deje $p(X) = a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0$ el valor del polinomio mínimo de a $A$. El coeficiente constante $a_0$ es, a firmar, el producto de los distintos autovalores de a $A$, y por lo tanto desaparece. Por lo tanto $p(A) = A(a_n A^{n-1} + \cdots + a_1) = 0$, y el polinomio $a_n A^{n-1} + \cdots + a_1\not = 0$ por el hecho de que $p$ es mínima.

Answer 3

Si $A$ a no es invertible, sus filas son linealmente dependientes, entonces usted puede encontrar un vector de columna $v$ tal que $Av=0$. Rellenar $v$ en una matriz cuadrada (con ceros incluso, si te gusta) y ha mostrado $A$ es un divisor de cero.

Es bastante trivial para ver, entonces, que una matriz de más de $A$ cualquier anillo de $R$ es trivial si existe un vector distinto de cero $v$ $R$ (con derecho de longitud) tal que $Av=0$.

Hay probablemente no muchas cosas que se pueden decir sobre el caso general de que son mejores que este.

Answer 4

Quiero reprender la declaración de @DavidC.Ullrich con el método de @anomalía y añadir un suplemento.

Teorema: Vamos a $A$ ser una matriz cuadrada con entradas en un campo $\mathbb K$$\det(A)=0$. Entonces existe una plaza distinta de cero de la matriz $B$$AB=0=BA$.

Suplemento: $B$ se puede tomar de $\mathbb K[A]$.

Prueba:

Deje $p(X)$ ser el polinomio mínimo de a $A$. Entonces podemos escribir $p(X)$ $q(X)X$ debido a que el coeficiente constante de $p$ se desvanece, ya que es $\det(A)$.

Tomando $B:=q(A)$ (que no es cero debido a que $p$ es mínimo) nos da

$$AB=BA=p(A)=0.$$

Answer 5

Sí. Si $A$ es cualquier (no-cero) singular de la matriz, luego habrá algunos (no trivial) lineal subespacio $S$, de modo que $Av = 0$ cualquier $v \in S$. Habrá un (distinto de cero) la proyección de $P$ en este sub-espacio (dado un producto interior, puede utilizar la proyección ortogonal), que es una matriz de $B$, de modo que $Bv \in S$ todos los $v$. A continuación, la matriz de $AB = 0$.