Ejemplos de cómo calcular el $e^A$

Question

Estoy tratando de aprender el proceso para descubrir $e^A$

Por ejemplo, si $A$ es diagonalizable es fácil:

$$A =\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix}$$

Luego tenemos a la forma canónica $$J_A =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$$

porque la auto-valores de $2$$-1$.

Estoy en lo cierto? así que me siguen

$$e^A =P\begin{pmatrix} e^2 & 0 \\ 0 & e^{-1} \\ \end{pmatrix}P^{-1}$$

Donde $$P=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

Porque la auto-vectores (2,1) y (1,1).

Si la auto-valores de las cosas se vuelven más complicadas:

Por ejemplo:

$$B =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -2 \\ \end{pmatrix}$$

Los auto-valores de $-1+i$$-1-i$, entonces la forma canónica:

$$J_B =\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$

No sé cómo descubrir a $e^B$ en el caso complejo. ¿Cómo debo proceder en este caso?

Me gustaría saber también si hay algún pdf o libros con ejemplos o problemas con soluciones sobre este tema.

Realmente necesito ayuda

Muchas gracias.

EDITAR

He encontrado otro ejemplo de una matriz cuya algunos de los auto-valores son complejos:

$$C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -5 & 6 & 11 \\ 5 & -5 & -10 \\ \end{pmatrix}$$

Su forma canónica

$$J_C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ \end{pmatrix}$$

Por qué $J_A$ es la matriz $A$ en la forma canónica? el autor no utiliza números complejos, ¿por qué? ¿Cómo puedo encontrar a $e^A$ en este caso? de la misma manera?

EDIT 2

El libro que estoy utilizando dice que el complejo de Jordania bloque relacionado con el auto-valor de $a+bi$ es

$$\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \\ \end{pmatrix}$$

El libro también dice que es el uso de el real de la forma canónica de Jordan en contraste con el complejo de la forma canónica de Jordan (véase la respuesta a continuación).

Answer 1

Puede que desee echar un vistazo a los Diecinueve Dudosa Maneras de Calcular la Exponencial de una Matriz, veinticinco Años Después

Otras referencias se pueden encontrar en La matriz exponencial: Cualquier buen libro? Tenemos:

$$A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\-2 & -2\end{bmatrix}$$

Queremos hallar el polinomio característico y los valores propios mediante la resolución de

$$|A -\lambda I| = 0 \rightarrow \lambda^2+2 \lambda+2 = (\lambda+(1-i)) (\lambda+(1+i))= 0 \rightarrow \lambda_1 = -1+i, ~~\lambda_2 = -1-i$$

Si tratamos de encontrar los vectores propios, configuramos y resolver: $[A - \lambda I]v_i = 0$.

Así, tenemos:

$$[A - \lambda_1 I]v_1 = 0 = \begin{bmatrix}1-i & 1\\-2 &-1-i\end{bmatrix}v_1 = 0$$

Esto conduce a una RREF de:

$$\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2}(1 +1)\\0 & 0\end{bmatrix}v_1 = 0 \rightarrow v_1 = \left(1, -\dfrac{1}{2}(1 + i)\right)$$

Hacer el mismo proceso para el segundo autovalor rendimientos: $v_2 = \left(1, -\dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}\right)$

A partir de toda esta información, podemos escribir la matriz exponencial el uso de la Forma Normal de Jordan.

Tenemos la diagonal de la forma:

$$A = P \cdot J\cdot P^{-1} = \begin{bmatrix}-1/2+i/2 & -1/2-i/2 \\ 1 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-1-i & 0 \\ 0 & -1+i\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-i & 1/2-i/2 \\ i & 1/2+i/2 \end{bmatrix}$$

Así, ahora podemos tomar ventaja de la diagonal de la forma como:

$\displaystyle e^A = P \cdot e^J \cdot P^{-1} = \begin{bmatrix}-1/2+i/2 & -1/2-i/2 \\ 1 & 1\end{bmatrix} \cdot e^{\begin{bmatrix}-1-i & 0 \\ 0 & -1+i\end{bmatrix}} \cdot \begin{bmatrix}-i & 1/2-i/2 \\ i & 1/2+i/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1/2+i/2 & -1/2-i/2 \\ 1 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}e^{-1-i} & 0 \\ 0 & e^{-1+i}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-i & 1/2-i/2 \\ i & 1/2+i/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1/2+i/2) e^{-1-i}+(1/2-i/2) e^{-1+i} & (1/2) i e^{-1-i}-(1/2) i e^{-1+i} \\-i e^{-1-i}+i e^{-1+i} & (1/2-i/2) e^{-1-i}+(1/2+i/2) e^{-1+i} \end{bmatrix}$

Otros métodos se muestran en la que el papel que se hace referencia anteriormente.

Si comparamos esto para el caso real, el proceso es el mismo, y nos encontramos con:

$\displaystyle e^A = P \cdot e^J \cdot P^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 2\\1 & 1\end{bmatrix} \cdot e^{\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}} \cdot \begin{bmatrix}-1 & 2\\1 & -1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 2\\1 & 1\end{bmatrix} \cdot {\begin{bmatrix}e^{-1} & 0\\0 & e^2\end{bmatrix}} \cdot \begin{bmatrix}-1 & 2\\1 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dfrac{-1+2 e^3}{e} & -\dfrac{2 (-1+e^3)}{e}\\ \dfrac{-1+e^3}{e} & \dfrac{2-e^3}{e}\end{bmatrix}$

Es también digno de mención que las cosas también pueden ponerse muy feas, por ejemplo, ver: generalizada autovector de matriz de 3x3 con 1 autovalor, 2 vectores propios