¿Argumentos de conexión en las matemáticas elementales?

Question

Para empezar, permítanme explicar una estrategia de prueba (que llamaré principio de conexión a falta de un término mejor y más canónico):

Una forma de demostrar que un objeto matemático $O_1$ tiene alguna propiedad $P$ es para:

• Construir un espacio (topológico) $\mathfrak M$ que contiene el objeto $O_1$ tal que $P$ es un invariante continuo en $\mathfrak M$ lo que significa que si $t \mapsto O_t$ es un camino continuo de elementos de $\mathfrak M$ cada elemento $O_t$ tiene propiedad $P$ tan pronto como uno de ellos lo tenga.
• Demostrar que algún elemento $O_0$ en $\mathfrak M$ tiene propiedad $P$ .
• Demostrar que $O_0$ y $O_1$ están unidos por un camino $t \mapsto O_t$ en $\mathfrak M$ (por ejemplo, demostrar que $\mathfrak M$ está conectado a la ruta).

Esta estrategia está bien ilustrada, por ejemplo, por un muy buena prueba de la fórmula del grado de género.

Mi pregunta es ¿conoces algún ejemplo de aplicación de esta estrategia en matemáticas más elementales?

Al fin y al cabo, incluso en el instituto o en los primeros años de la universidad, el mundo matemático está lleno de elementos que viven en espacios conectados (puntos, líneas, triángulos, números, funciones...) y no veo ninguna razón por la que esta estrategia de demostración no pueda funcionar en este contexto, incluso sin la jerga de la topología.

Por supuesto, se pueden imaginar variantes de esta estrategia (limitarse a trayectorias poligonales, por ejemplo) y me interesan todas ellas. Sin embargo, me gustaría que las respuestas mantuvieran un sabor topológico: no me interesan (en esta cuestión) los ejemplos que utilizan otros tipos de invariancia (por ejemplo, mediante la acción de un grupo).

Un último comentario: No he encontrado esta estrategia en los libros de resolución de problemas, así que no sé si tiene un nombre bien establecido. Si conoces un nombre así, o un libro que mencione esta estrategia, por favor, dímelo.

Answer 1

Creo que has tergiversado el primer paso de tu estrategia de demostración, porque es demasiado estricto y como tal cortocircuita toda relación con la continuidad (y te darás cuenta de que tu enlace no utiliza este método). En concreto, en lugar de demostrar que cualquier camino continuo preserva la propiedad, sólo tienes que demostrar que la propiedad es clopen, es decir, que para cualquier $x$ que satisface $P(x)$ hay una vecindad de $x$ que también la satisface, y de forma similar para $\neg P(x)$ . Además, no es necesario tener $\frak M$ conectada a la trayectoria, pero sólo conectada, porque de lo contrario $\{x|P(x)\}$ y $\{x|\neg P(x)\}$ forman una desconexión del espacio.

Esto puede ser demasiado trivial, pero el ejemplo que me viene a la mente es la demostración del teorema del valor intermedio. Sea ${\frak M}=[0,1]$ , $O_1=1$ , $O_0=0$ y $$P(x)\iff f(x)<0\vee\exists y:f(y)=0.$$ (Nótese que el segundo disyuntivo no depende de $x$ .) Entonces, si $f(x)$ es una función continua en $[0,1]$ con $f(0)<0$ y $f(1)\ge 0$ tenemos $P(0)$ satisfecho, y para cada $x$ , ya sea $f(x)<0$ y entonces hay un conjunto abierto $U$ alrededor de $x$ tal que $f(y)<0$ para todos $y\in U$ es decir $P(x)$ es verdadera en $U$ o la segunda disyuntiva es verdadera de modo que $P(y)$ para todos $y$ . De lo contrario, $f(x)>0$ y el segundo disyuntivo es falso, por lo que $P(y)\iff f(y)<0$ para todos $y$ que es falso en una vecindad de $x$ . Por lo tanto, el argumento de conectividad da como resultado que $P(x)$ es cierto para todos los $x\in [0,1]$ y como $f(1)\ge0$ el primer disyuntivo es falso, por lo que $\exists y:f(y)=0$ .

Answer 2

Pues bien, se puede utilizar para demostrar que dos contornos homotópicos en el plano menos un punto tienen el mismo número de enrollamiento alrededor del punto. Esto se hace integrando la función 1/z alrededor de los contornos. Tal vez esto no sea lo suficientemente elemental.