¿Puede un grupo de orden $55$ tienen exactamente $20$ elementos de orden $11$ ? (Aclaración)

Question

Después de preguntar esta pregunta que ahora entiendo, me encontré con una pregunta similar . Pero no entiendo la respuesta que se eligió; en particular la parte sobre $34$ elementos de orden $5$ (pero el resto de la respuesta tampoco está clara). ¿Podría alguien aclarármelo? Muchas gracias.

Answer 1

Por el Teorema de Lagrange, cualquier elemento tiene orden $1,5,11$ o $55$ .

Caso 1 Hay un elemento de orden $55$ entonces el grupo es cíclico (por tanto isomorfo a $\mathbb{Z}/55\mathbb{Z})$ y es fácil comprobar que hay exactamente 10 elementos de orden 11.

Caso 2 No hay ningún elemento de orden $55$ . Entonces cualquier elemento tiene orden $1,5$ o $11$ .

Hay 55 elementos en total. 1 tiene orden 1, 20 tienen orden 11 y los restantes $55-20-1=34$ tienen orden 5.

Ahora, cada elemento $x$ de orden $5$ genera el siguiente subgrupo: $\langle x,x^2,x^3,x^4, e \rangle$ que contiene cuatro elementos de orden $5$ .

Si elige otro elemento $y$ de orden $5$ entonces $\langle y\rangle=\langle x\rangle$ o $\langle y\rangle \cap \langle x\rangle =\{e\}$ .

Esto demuestra que los elementos de orden $5$ pueden agruparse en grupos disjuntos de 4 elementos. Por lo tanto, su número es múltiplo de $4$ .

Answer 2

Sea $G$ sea un grupo de orden 55.

Supongamos que $G$ contiene exactamente $20$ elementos de orden $11$ .

Supongamos que $a \in G$ y $|a|=11$
entonces $a$ es un subgrupo cíclico de $G$ con pedido $11$ y contiene exactamente $10$ elementos de $11$ orden.

Ahora elija $b$ perteneciente a $G$ tal que $b$ no está en $a$ y $|b|=11$
[ $b$ se toma del resto $10$ elementos de orden $11$ ]
entonces b es un subgrupo de orden 11.

Ahora, $|a \cap b|$ puede ser $1$ o $11$ .

Si $|a \cap b| = 11$ entonces, $$|a \cap b|=|a|=|b|$$ pero $a$ no es igual a $b$ por construcción.

Por lo tanto, $|a \cap b| = 1$ lo que implica que $$|a . b|=|a||b|=11 \times 11=121 > (55=|G|)$$ lo cual es una contradicción.