El subgrupo de ajuste centraliza los subgrupos normales mínimos en grupos finitos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito: Si $N$ es un subgrupo normal mínimo de $G$ entonces $F(G) \leq C_G(N)$ .

Ici $C_G(N)$ denota el centralizador de $N$ en $G$ y $F(G)$ denota el subgrupo de ajuste de $G$ .

Answer 1

Si $N$ es abeliano, entonces $N \leq F$ y $[F,N] < N$ sigue siendo normal, así que $[F,N]=1$ como se ha afirmado. Si $N$ es no abeliana, entonces $[F,N] \leq F \cap N = 1$ como se ha reclamado.

Puede tratar de probar una especie de inversa: $F(G)$ es la intersección de los centralizadores, no sólo de los subgrupos mínimos normales, sino de todos los $K/L$ donde $K$ es un subgrupo normal mínimo de $G/L$ .