Sobre demostrando que $Aut(\mathbb{Z}_n)\simeq \mathbb{Z}_n^\times$.

Question

Tengo que demostrar que $$ Aut(\mathbb{Z}_n) \simeq \mathbb{Z}_n^\times. $$ Mi definición de $\mathbb{Z}_n$ es que $$ \mathbb{Z}_n =\{\bar{m}: m\in \mathbb{Z}\} $$ donde $\bar{m}$ es la clase de equivalencia que contiene a $m$. He definido el mapa $$ \Psi: Aut(\mathbb{Z}_n) \to \mathbb{Z}_n^{\times} $$ por $$ \Psi(f) = f(\bar{1}). $$ Tengo dos preguntas acerca de este

(1) ¿este mapa sentido? Quiero decir, $f(1)$ es un elemento del grupo $\mathbb{Z}_n$ e no $\mathbb{Z}_n^\times$. Mi idea es que esto no es un problema porque $\mathbb{Z}_n^\times\subseteq \mathbb{Z}_n$. Es ese derecho?

(2) Suponiendo que el mapa está bien definido, estoy tratando de mostrar que este es un homomorphism. Así que necesito a $\Psi(fg) = \Psi(f)\Psi(g)$. Tengo $$ \Psi(fg) = fg(\bar{1}) = f(g(\bar{1})). $$ y $$ \Psi(f)\Psi(g) = f(\bar{1})g(\bar{1}). $$ Puedo ver que puede pensar acerca de $g(\bar{1})$ simplemente como un número entero, entonces tiene sentido. Pero $g(\bar{1})$ es realmente una clase de equivalencia. Entonces, ¿cómo puedo hacer esto exactamente?

Answer 1

Creo que puede solucionar este problema mucho más fácil simplemente cambiando el rango y el dominio de su mapa. Definir con más precisión, $f: \mathbb{Z^{\times}_n} \to Aut(\mathbb{Z_n})$ $f(a):= f_a$; y $f_a (x) = ax$ % todos $x \in \mathbb{Z_n}$.

Answer 2

Creo que se refiere a grupo de automorfismos, en lugar de anillo automorphisms. Como alternativa a la idea de Amin, puede definir $g:\text{Aut}\left(\mathbb{Z}_n\right)\to\mathbb{Z}_n^\times$ $g(\varphi):=\varphi\left(\bar{1}\right)$ % todo $\varphi\in \text{Aut}\left(\mathbb{Z}_n\right)$.

Answer 3

La definición del grupo $\mathbb{Z}_n$ parece un poco extraño para mí. Tal vez es el gusto personal, pero la relación de equivalencia es la parte esencial de la definición. Así que usted debe dar a la relación de equivalencia.

Si usted tiene un grupo abelian $G$ y una relación de equivalencia $\sim$$G$, de tal manera que el mapa $$ G \to G/ \sim, g \mapsto [g] $$ que toma un elemento a su clase de equivalencia, entonces se puede demostrar que los $[0]$ es un Grupo y $[g]= g+ [0]$ todos los $g \in G$. Así se puede definir una relación de equivalencia $$ a \sim_N b \Leftrightarrow a-b \in N $$ para cualquier subgrupo $N$$G$. A continuación, puede mostrar que $G / \sim_N$ tiene una estructura de grupo mediante la adición de los elementos de las clases de equivalencia. Así que tiene sentido para denominar a este grupo por $$ G/N $$

Dando así la relación de equivalencia o el subgrupo $n\mathbb{Z}$ les espero en la definición de $\mathbb{Z}_n$.

A (1) a priori este mapa no tiene sentido. Usted puede definir el mapa con codominio $\mathbb{Z}_n$ y el espectáculo que sólo toma valores en $\mathbb{Z}_n^{\times}$.

(2) usted debe buscar en los generadores Nephry dijo. Cualquier homomorphism entre dos grupos ya definidos en los generadores. Pero usted debe ser consciente del hecho de que no funciona la presenta especialmente el camino de ronda. Si usted tiene generadores y asignar los elementos en un grupo, esto no siempre se extienden a un homomorphism. Esto sólo funciona en el modo libre (abelian) grupos. Ahora, si usted tiene un grupo de $G$ con un generador de $g$ usted puede demostrar que cualquier homomorphism $f \colon G \to G'$ está definido por $f(g)$. En el caso de que esto significa que usted tiene que demostrar que $\bar{1}$ es un automorphism si y sólo si $f(\bar{1})$ es una unidad. Para calcular lo $f(g(\bar{1}))$ es lo que necesita para expresar esta por $f(1)$, con lo cual es posible desde la $\mathbb{Z}_n$ tiene un generador.

Si usted piensa de $g(\bar{1})$ como un número entero que tener cuidado de que es independiente de la representante que usted elija. También se puede optar por representantes de todas las clases para deshacerse de clases de equivalencia como $\mathbb{Z}_{n} \cong \{ 0,1, \dots, n-1\}$

Por último, pero no menos prefiero la noción $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$, porque por $\mathbb{Z}_n$ también indicar la localización de $\mathbb{Z}$ en el conjunto de $\{n^i \mid i\in \mathbb{N} \}$.

Answer 4

Permítanme tratar de responder a sus preguntas y dar la prueba de que usted está buscando. Para tu primera pregunta, el mapa de $\Psi:\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_n)\to\mathbb{Z}_n^\times$ es la correcta, pero se necesita probar que el $f(1)\in\mathbb{Z}_n^\times$ (esto no es inmediato).

Vamos a hacer esto:

Supongamos $f(1)=a$. Entonces, para $2\leq k<n$,
$$f(k)=f(1+\cdots+1)=\underbrace{f(1)+\cdots+f(1)}_k=ka=ak.$$ De ello se desprende que $f$ es la multiplicación por $a$ y escribimos $f=f_a$ en este caso. A ver que $a\in\mathbb{Z}_n^\times$, no se que $f^{-1}=f_b$ algunos $b\in\mathbb{Z}_n$ y $$1=f^{-1}f_a(1)=f_bf_a(1)=f_b(a)=ba$$ Por lo tanto, $b=a^{-1}$$a\in\mathbb{Z}^{\times}$.

Ahora, hemos visto que todos los $f\in\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_n)$ es de la forma $f=f_a$ algunos $a\in\mathbb{Z}_n^\times$, y está claro que $f_a=f_b$ si, y sólo si $a=b$. Esto significa, que el mapa de $\Psi$ anterior es surjective.

Ahora, a tu última pregunta, el cálculo anterior muestra también que $f_bf_a=f_{ba}$ cualquier $a,b\in\mathbb{Z}$. Esto significa que $$ \Psi(f_bf_a)=\Psi(f_{ba})=f_{ba}(1)=ba=f_b(1)f_a(1)=\Psi(f_b)\Psi(f_a) $$ por lo $\Psi$ es un homomorphism.

Es interesante señalar que nos encontramos con respecto a $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_n)=\mathrm{Aut}_{\mathrm{Group}}(\mathbb{Z}_n)$ como el grupo de Grupo de automorfismos. Usted también puede saber que $\mathbb{Z}_n$ es un Anillo. En este contexto, se ha $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Ring}}(\mathbb{Z}_n)=\{1\}$ desde el anillo automorphism, además, deben satisfacer $\phi(1)=1$. Este pequeño pedazo de la trivia es en realidad una vista previa de algo que puede llegar a entender como categórica consideraciones.