Si $f(x) \to 0$ y $g$ es una función acotada, entonces $f(x)g(x) \to 0$

Question

Estoy utilizando un texto fuente no inglés, por lo que no estoy seguro de que todos los términos técnicos reciban su nombre correcto en inglés.

Lo que mi texto fuente llama "función limitada superior" se define como una función que tiene un rango limitado superior, es decir, existe una B tal que

$\forall x \in D_{f}: f(x) \leq B$

Pregunta 1 : ¿Cuál es el nombre correcto en inglés de este término?

Me encontré con el siguiente teorema:

Si $\lim f(x) = 0$ y la función $g(x)$ es limitada (es decir, tanto "limitada superior" como "limitada inferior"), entonces $f(x)g(x) \rightarrow 0$

Pregunta 2 : ¿Existe un nombre específico para este teorema?

La demostración de este teorema comienza afirmando que el requisito de que g(x) esté limitada para x grande implica que existen números $C$ y $\omega_{0}$ tal que..:

$$x > \omega_{0} \rightarrow | g(x)| < C $$

A continuación, definen $ \epsilon $ como un número positivo y las suposiciones detrás de $f(x)$ significa que hay un número $\omega_{1}$ , de tal manera que

$$x > \omega_{1} \rightarrow | f(x)| < \frac{\epsilon}{C} $$

Ahora bien, si $\omega = \max(\omega_{0},\omega_{1})$ entonces

$$x > \omega \rightarrow |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| < \frac{\epsilon}{C} \cdot C = \epsilon$$

Esto aparentemente significa exactamente que $f(x)g(x) \rightarrow 0$ cuando $x \rightarrow \infty$

Pregunta 3 : No entiendo mucho de esta prueba, como la parte de las suposiciones detrás de $f(x)$ implica las cosas que hace o cómo la parte de $\omega = \max(\omega_{0},\omega_{1})$ sigue. ¿Algún consejo?

Pregunta 4 : A veces me encuentro con textos de origen no inglés por diversas razones. ¿Algún consejo sobre cómo conectar los conocimientos adquiridos a partir de estos textos con los conocimientos más amplios acumulados a partir de la literatura inglesa?

Answer 1

Supongo que se refiere a $ \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = 0$ y $ \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)g(x) = 0 $ y que $ a = \infty $ .

Anuncio Pregunta 3 : A mí me parece que esto es una prueba básica de una convergencia a través de la $ \varepsilon $ -criterio.

Dejemos que $ \overline{\varepsilon} \gt 0 $ .

Asegúrate de conocer la definición de convergencia de una función.

Limitado en el contexto de una función $ g(x) $ significa que existe una constante C para que para cada $ \varepsilon \gt 0 $ :

$$ \exists \overline x_g : \forall x > \overline x_g, x \in \mathbb{D}_{g(x)} : |g(x) - C| \lt \varepsilon $$

$ \mathbb{D}_{g(x)} $ significa el dominio de $ g(x) $ por ejemplo, el dominio de $ \ln(x) $ para valores reales $ x $ es normalmente $ \mathbb{R}^{+} \setminus \{ 0 \} $ .

Sabemos que $ \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = 0 $ lo que implica que para cada $\varepsilon$ podemos encontrar un $ \overline x_f \in \mathbb{D}_{f(x)} $ para que: $$ \forall x \gt \overline x_f, x \in \mathbb{D}_{f(x)}: |f(x)| < \varepsilon $$

Como en todas las pruebas en las que se puede encontrar un $ \varepsilon $ ahora tiene que ajustar el $ \varepsilon $ para adaptarse a sus necesidades.

$ \varepsilon = \frac{\overline{\varepsilon}}{C} $ lo hará.

Quiere asegurarse de que a partir de $ \overline x $ todos los demás $ x \gt \overline x $ satisface $ |f(x)g(x)| \lt \overline\varepsilon $ .

Así que debe elegir el máximo de la $ \overline x_f $ de $ f(x) $ y el $ \overline x_g $ de $ g(x) $ porque para $ x \gt \max(\overline x_f, \overline x_g) $ ambas implicaciones se satisfarán y podremos derivar la última desigualdad que he marcado con (*).

$$ \forall x \gt \max(\overline x_f, \overline x_g): |f(x)g(x)| = |f(x)| |g(x)| \overset{(*)}{\lt} \frac{\overline{\varepsilon}}{C} \cdot C = \overline{\varepsilon} $$

Por lo tanto: $ \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)g(x) = 0 $ .

Anuncio Pregunta 4 : Soy alemán y me encuentro leyendo textos fuente en inglés para mis estudios muy a menudo. Después de poco tiempo aprendí a manejar las correspondencias de las matemáticas en alemán y las matemáticas en inglés. (Tal vez es más fácil para un alemán porque muchas cosas en el análisis o el álgebra son casi lo mismo en Inglés y alemán - valores propios, la teoría de Galois, muchas definiciones en la teoría de la medida, etc.)

Intenta siempre establecer la conexión entre las cosas que lees en tu lengua materna y cómo las nombras en inglés.