Ejemplos de espacio localmente anillado

Question

Un espacio localmente anillado es un par (X, $\mathcal{O}_X$ ) donde $\mathcal{O}_X$ es una gavilla estructural sobre X y los tallos $\mathcal{O}_{x,X}$ son anillos locales.

¿Cuál es un ejemplo natural de espacio localmente anillado?

1. Sea X= $\mathbb{C}^n$ y $\mathcal{O}_X$ = gérmenes de funciones holomorfas sobre X
2. Sea X= $\mathbb{C}^n$ y $\mathcal{O}_X$ = gérmenes de funciones regulares sobre X

¿Son los ejemplos estándar 1 y 2 localmente ¿espacios anillados? (obviamente, espacios anillados). ¿Cómo se demuestra que los tallos tienen ideales maximales únicos?

Answer 1

Sí, ambos son ejemplos de espacios localmente anillados. Algunos ejemplos más:

1. $X$ es cualquier espacio topológico, y $\mathscr{O}_X$ es el conjunto de funciones continuas de valor real sobre $X$ . (La gavilla de funciones continuas de valor complejo también servirá, por supuesto).
2. $X$ es cualquier colector diferencial, y $\mathscr{O}_X$ es la gavilla de valores reales $C^\infty$ funciones en $X$ .
3. Por supuesto, la geometría algebraica da la construcción de un espacio localmente anillado $\operatorname{Spec} R$ para cualquier anillo conmutativo $R$ - de la que no entraré en muchos detalles aquí.

La forma en que tiendo a pensar en un espacio localmente anillado es como un espacio anillado en el que existe una noción coherente de un conjunto "no nulo" de cada sección, tal que cada sección se convierte en una unidad cuando se restringe a su conjunto distinto de cero . En concreto, supongamos que tenemos un espacio anillado $(X, \mathscr{O}_X)$ junto con una operación $D$ que toma cada $f \in \Gamma(U, \mathscr{O}_X)$ sobre un subconjunto abierto $U$ a un subconjunto abierto $V \subseteq U$ que cumplan estas condiciones:

1. $D(0_U) = \emptyset$ , $D(1_U) = U$ por cada $U$ .
2. $D(f+g) \subseteq D(f) \cup D(g)$ .
3. $D(fg) = D(f) \cap D(g)$ .
4. Si $V \subseteq U$ y $f \in \Gamma(U, \mathscr{O}_X)$ entonces $D(f |_V) = D(f) \cap V$ .
5. Para cada $f$ , $f |_{D(f)}$ es una unidad de $\Gamma(D(f), \mathscr{O}_X)$ .

Entonces, $(X, \mathscr{O}_X)$ es un espacio localmente anillado. Para $x \in X$ es el único ideal maximal de $\mathscr{O}_{X, x}$ es esencialmente el conjunto de gérmenes que "son cero" en $x$ es (informalmente) el conjunto de gérmenes $f$ tal que para alguna vecindad $U$ de $x$ , $f \in \Gamma(U, \mathscr{O}_X)$ y $x \notin D(f)$ . Entonces (4) implica que esto es independiente de la elección de $U$ y también independiente de la elección del representante del germen. Las condiciones (1) a (3) implican que este conjunto es un ideal propio, y la condición (5) asegura que es un ideal maximal único.

(A la inversa, si $(X, \mathscr{O}_X)$ es localmente anillado, entonces si definimos $D(f) := \{ x \in U \mid f_x \notin \mathfrak{m}_x \}$ entonces $D$ cumplirá las condiciones anteriores).

Ahora bien, en todos los casos dados, si definimos simplemente $D(f) := \{ x \in U \mid f(x) \ne 0 \}$ entonces es sencillo comprobar que esta $D$ cumple las condiciones anteriores. (La excepción es $\operatorname{Spec} R$ que tiene una construcción ligeramente diferente para $D$ .)

Answer 2

No estoy especialmente versado en este campo, pero podemos considerar los siguientes gérmenes para comprobar que sólo hay un ideal maximal en cada uno de los anillos:

Si $\mathbb C\{X\}$ es el conjunto de series de potencias con radio de convergencia positivo, entonces $f^{-1}$ también es analítica si y sólo si $a_0=0$ (el primer término de la expansión en serie.) Por lo tanto, $\mathbb C\{X\}$ es un anillo local con ideal máximo $(X)$ .

Para verlo, observemos que un elemento de la serie de potencias formal es invertible siempre que su primer término sea distinto de cero.

Del mismo modo, considere $0 \in \mathbb R$ y tomar una clase de equivalencia en una vecindad arbitrariamente pequeña $U$ de $0$ . Entonces, si existe alguna vecindad en la que dos funciones coinciden en la restricción, se consideran equivalentes. Este anillo de gérmenes, $R_{\epsilon}$ (esta es una notación no estándar) es local ya que todas las funciones tales que desaparecen en el origen forman un ideal máximo, y cualquier otra función es invertible.