Tengo que probar o refutar la siguiente declaración:
Si $\phi:G \rightarrow H$ es un homomorphism entre grupos finitos, con los no-trivial de la imagen (es decir,$\phi(G)\neq\{e_H\}$), $\#G$ $\#H$ tienen un divisor común $>1$.
Creo que esta afirmación es verdadera por el siguiente razonamiento:
Definir $\ker(\phi)=K$, por el primer teorema de isomorfismo sabemos que $K \triangleleft G$. Por lo tanto $\#K \mid \#G$ del teorema de Lagrange.
Ahora, por el primer teorema de isomorfismo también sabemos que $\psi: G/K \rightarrow img(\phi)$ es un isomorfismo y $img(\phi)\leq H$. (No estoy seguro de si esta afirmación es verdadera, al principio pensé que $img(\phi)=H$ pero un homomorphism no siempre surjective. Me parece obvio que $img(\phi)$ debe ser un subgrupo de $H$ pero no sé cómo mostrar este. Estoy suponiendo que esto es cierto, aunque). Por lo tanto $\# img(\phi) | \# H $.
$\mid G/K\mid=\frac{\mid G\mid}{\mid K \mid}=\mid img(\phi) \mid$ reescritura de esta declaración da $\frac{|G|}{|img(\phi)|}=|K|$.
Así que mi conclusión es que el $img(\phi)$ divide tanto a a$\#G$$\#H$. Y debido a que $\phi$ no trivial de la imagen que esta declaración es verdadera.
Realmente me gustaría saber si esta prueba no es correcta y si es así ¿por qué la declaración de $img(\phi)\leq H$ es cierto.
