¿Si es independiente del % un evento $A$ $B$y $C$, es un también independiente de $B \cap C$?

Question

$A$ y $B$ son independientes. $A$ y $C$ son independientes. ¿Son $A$ y $B \cap C$ también independiente?

Answer 1

Jajaja Escoge dos números $x,y$ ${0,1}$ independientemente y con probabilidad 1/2 cada uno. Que $B$ es el evento que es $x$, $C$ el evento que es $y$ y $A$ el evento es que $x+y$.

Answer 2

Deje $A$ $B$ eventos independientes, y deje $A$ $C$ eventos independientes. ¿Cómo puedo demostrar que $A$ $B\cap C$ eventos son independientes?

Usted no puede mostrar este resultado, porque no mantiene para todos los $A, B, C$ a disfrutar de estas propiedades. Considere el siguiente contraejemplo.

Considerar en dos lanzamientos de una moneda. Deje $B=\{HT,HH\}$ $C=\{HT,TT\}$ ser los eventos que la primera y la segunda tira resultó en la cabeza y la cola, respectivamente. Deje $A=\{HT,TH\}$ ser el caso de que exactamente un sorteo resultó en la Cabeza.

A continuación, $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ mientras que $P(a\cap B) = P(a\cap C) = \frac 14$ and so $$and $B$ are independent events as are$$ y $C$ eventos independientes. De hecho, $B$ $C$ también son independientes eventos (que es, $A$, $B$, y $C$ son pares de eventos independientes). Sin embargo, $$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cap C)=\frac 14 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cap C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cap C)$$ y por lo $A$ $B\cap C$ son dependientes de eventos.

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Observe que si $B$ $C$ son independientes o no no es relevante para el tema: en el contra-ejemplo de arriba, $B$ $C$ fueron eventos independientes y, sin embargo, $A = \{HT, TH\}$ $B\cap C = \{HT\}$ fueron no eventos independientes.Si $A$, $B$, y $C$ son mutuamente independientes de los eventos (que se requiere no sólo la independencia de $B$$C$, pero también para $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ ), a continuación, $A$ $B\cap C$ de hecho son eventos independientes. Mutua independencia de $A$, $B$ y $C$ es suficiente condición.

Answer 3

$\implies P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B)$

$\implies P(A|C)=P(A),P(C|A)=P(C)$

$P(A|(B∩C))=P(A∩B∩C)/P(B∩C)$

Que después de simplificación,

$P(X|Y)=P(X∩Y)/P(Y)$

$P(A|(B∩C)) ≠ P(A)$