Encontrar el Límite de una Secuencia (No de L'Hospital de la Regla)

Question

Bueno, me siento casi tonto por preguntar esto, pero he estado en él durante una hora y media. Necesito encontrar: $$\lim_{n \to\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$$ Pero me parece que no puede averiguar. Sé que es muy fácil utilizando la regla de L'Hospital, y puedo "ver", que va a ser $1$, pero al parecer es posible calcular utilizando sólo los resultados que he probado hasta ahora. Es decir, el teorema del sandwich, la suma/resta/multiplicación/división/constante múltiples límite de las leyes y de los siguientes límites: $\displaystyle\lim_{n \to\infty}\left(n^{\frac{1}{n}}\right)=1$ $\displaystyle\lim_{n \to\infty}\left(c^{\frac{1}{n}}\right)=1$ donde $c$ es un número real, y $\displaystyle\lim_{n \to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}=e^{a}$. Así como los formados a partir de la relación de términos en la siguiente jerarquía: $$1<\log_e(n)<n^{p}<a^{n}<b^{n}<n!<n^{n}$$ Donde $p>0$ $1<a<b$

por ejemplo, $\displaystyle\lim_{n \to\infty}\left(\frac{\log_e(n)}{n!}\right)=0$

Al principio pensé que tal vez podía expresar el límite en la forma de la $e^{a}$ límite estándar, pero yo no podía deshacerse de la plaza en $n$. También he probado el teorema del sandwich, es obviamente limitada por arriba por $1$, pero simplemente no pude encontrar ninguna adecuado límites inferiores. Agradecería un poco de ayuda, o incluso sólo una pequeña pista, gracias!

Answer 1

Reescribir:

$\lim \limits_{n\to\infty} \left(1-{1\over n^2}\right)^n = \lim \limits_{n\to\infty} \left[\left(1-{1\over n}\right)\left(1+{1\over n}\right)\right]^n $

Distribuir los poderes sobre la tenemos:

$ \lim \limits_{n\to\infty} \left(1-{1\over n}\right)^n\left(1+{1\over n}\right)^n= e^{-1}e=1 $ como se desee.

Answer 2

Vamos a usar la Desigualdad de Bernoulli para obtener $$1 - \frac{1}{n} \leq \left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \leq 1\tag{1}$$ and then applying squeeze theorem as $n \to \infty$ we get the desired limit as $1$. Note that this particular limit is purely algebraic one and does not need any significant theorems / results dealing with $e$ or $\log función$.

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De Bernoulli de la Desigualdad: Si $x \geq -1$ $n$ es un entero no negativo, entonces $$(1 + x)^{n} \geq 1 + nx\tag{2}$$ Here we have used this inequality with $x = -1/n^{2}$ to get the first inequality in $(1)$. The second inequality in $(1)$ is obvious as $0 \leq (1 - 1/n^{2}) \leq 1$ and hence any positive integral power of $(1 - 1/n^{2})$ does not exceed $1$.

Answer 3

$$\lim_{n\to\infty} \left(1-{1\over n^2}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left[\left(1-{1\over n^2}\right)^{n^2}\right)^{1/n} $$ Tiene una forma exponencial $a^b$ donde $a$ se aproxima $e^{-1}$ [reemplace $n$ $\sqrt n$ aquí] y $b$ se aproxima $0$.

Answer 4

Uno puede utilizar, como $x \to 0$, el clásico de la expansión en series de Taylor $$ \begin{align} \log(1-x)&=-x+o\left(x\right), \end{align} $$ giving, as $n \to \infty$,

$$ n\log \left(1-\frac1{n^2}\right)=-\frac1{n}+o\left(\frac1n\right) $$

luego de observar que

$$ \lim_{n\to\infty} \left(1-{1\over n^2}\right)^n=\lim_{n\to\infty} e^{n\log \left(1-\frac1{n^2}\right)}=\lim_{n\to\infty}e^{-\frac1{n}+o\left(\frac1n\right)}=e^0=1. $$

Answer 5

$(1 - \frac1{n^2} )^{n^2} \to e^{-1}$ $n \to \infty$.

Por lo tanto $(1 - \frac1{n^2} )^{n^2} \in [\frac12,1]$$n \to \infty$. $\def\wi{\subseteq}$

Ahora$(1 - \frac1{n^2} )^n \in \left( (1 - \frac1{n^2} )^{n^2} \right)^\frac1n \wi [\frac12,1]^\frac1n \to {1}$$n \to \infty$.

Por lo tanto, por el teorema del sándwich $(1 - \frac1{n^2} )^n \to 1$$n \to \infty$.