Tiempo promedio para llenar cajas con bolas

Question

Vamos a tener n de los usuarios , cada una con un balón y m cajas. Los usuarios poner su bola en un azar de la caja. Se tarda exactamente 10 segundos para todas las pelotas para ser puesto en un azar de la caja (independientemente del número de usuarios). Cuando los 10 segundos pasaban, nos quite las cajas con al menos un balón y comenzar el proceso de nuevo (cada usuario conseguir un nuevo balón) hasta que no hay cuadros de la izquierda.

Sabemos que en cada iteración se lleva a exactamente 10 segundos, por lo tanto:

average_execution_time = average_iteration_count * 10

¿Cómo podemos calcular el promedio de iteraciones?

Aquí se describe un análogo problema pero ayudará a la elaboración de modelos de computación distribuida problema.

Answer 1

Creo que esto es la repetición necesaria (para la gente de m y números cajas):

\begin{align} E{n,m} &= \left( \sum{j=1}^{n-1} \Bigg\vert \sum{k=1}^j (-1)^{k+1} \binom{j}{k} k^m \Bigg \vert \binom{n}{j} \dfrac{E{n-j,m}}{n^m}\right)+1 \ E_{1,m} &= 1 \end{align}

Por ejemplo \begin{align} E{10,5} &= \dfrac{143552416944963272131}{44599077450547200000}\approx 3.21873063639351 \ \ E{100,10} &\approx 12.1672191476212 \end{align}

etcetera.

Este es el código maxima que usé:

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Actualización:

También podemos escribir en términos de números de stirling de segunda especie:

\begin{align} E{n,m} &= \left(\sum{j=1}^{n-1} \left\lbrace {m \atop j} \right\rbrace \frac{n!}{(n-j)!} \dfrac{E{n-j,m}}{n^m}\right)+1 \ E{1,m} &= 1 \end{align}

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