Equivalencia de números complejos

Question

Estoy un poco confundido sobre la solución de una oda compleja: $i\alpha y = \beta y''$

La solución del polinomio característico es $r = \pm \sqrt{i\alpha/\beta}$ . De alguna manera mi libro está consiguiendo la solución: $r = \pm (i+1)\sqrt{\alpha/2\beta}$ .

Desgraciadamente, no he tenido un curso de números complejos, así que son un punto un poco débil para mí. ¿Alguien puede explicar por qué las dos formas son equivalentes y cómo pasar de la primera a la segunda?

No se trata de un problema de deberes ni nada por el estilo, sólo es un paso de muchos en una derivación y estoy tratando de entender bien cada parte.

Answer 1

Tenga en cuenta que $(i+1)^{2} = i^{2} + 2i + 1 = -1 + 1 + 2i = 2i$ Así que, de hecho, las dos raíces que has enumerado son iguales.

Sólo para hacerlo perfectamente explícito:

$$r = \pm(i+1)\sqrt{\frac{\alpha}{2\beta}} = \pm\sqrt{\frac{(i+1)^{2}\alpha}{2\beta}} = \pm\sqrt{\frac{2i\alpha}{2\beta}} = \pm\sqrt{\frac{i\alpha}{\beta}}$$