Supongamos que $y(x; \epsilon)$ es una función de valor real de $x \in [a,b] \subset\mathbb{R}$ en función de un parámetro real $\epsilon$ y que \begin {align} \int_a ^b dx \N y(x; \epsilon ) =& 1 && \text {para todos} \epsilon. \end {align} Si existe una expresión asintótica $g(x;\epsilon)$ a $y(x;\epsilon)$ tal que \begin {align} y(x; \epsilon ) \sim & g(x; \epsilon ) & \text { como } \epsilon \rightarrow & 0, \end {align} entonces, ¿se mantiene la siguiente relación? \begin {align} \int_a ^b dx g(x; \epsilon ) \sim & 1 & \text { como } \epsilon \rightarrow 0. \end {align}
Editar 4:21:42 PM Martes, 31 de mayo de 2016 UTC
Creo que al menos la siguiente versión modificada de la proposición es cierta.
(Propuesta modificada) Si \begin {align} y(x; \epsilon ) \geq & 0 && \text { para todo } x \text { y } \text { para todos } \epsilon , \end {align} y si \begin {align} \int_a ^b dx y(x; \epsilon ) =& 1 && \text { para todos } \epsilon , \end {align} y si \begin {align} y(x; \epsilon ) \sim & g(x; \epsilon ) & \text { como } \epsilon \rightarrow & 0 && \text { uniformemente en } x, \end {align} entonces \begin {align} \int_a ^b dx g(x; \epsilon ) \sim & 1 & \text { como } \epsilon \rightarrow 0. \end {align} (Fin de la proposición) Sin embargo, no puedo eliminar la condición de que $y\geq0$ y creo que $y \sim g$ debe ser uniforme en $x$ . ¿Es posible relajar estas restricciones?
Por el símbolo ' $\sim$ Me refiero a la equivalencia asintótica. La equivalencia asintótica uniforme de $y(x;\epsilon)$ y $g(x;\epsilon)$ significa que para cualquier $E>0$ existe un $D>0$ independiente de $x$ tal que \begin {align} | \epsilon |<& D & \Rightarrow && \left | \frac {g(x; \epsilon )-y(x; \epsilon )}{y(x; \epsilon )} \right | < E \text { para todo } x. \end {align} La expresión asintótica para la integral de $g$ significa que para cualquier $E'>0$ existe un $D'>0$ tal que \begin {align} | \epsilon |<& D' & \Rightarrow && \left | \int_a ^b dx g(x; \epsilon )-1 \right | < E'. \end {align}
Mi prueba para la versión modificada es la siguiente. El valor absoluto de la integral en la última ecuación anterior se puede evaluar utilizando la condición sobre la integral de $y$ como \begin {Ecuación} \left | \int_a ^b dx g(x; \epsilon )-1 \right | = \left | \int_a ^b dx g(x; \epsilon )- \int_a ^b dx y(x; \epsilon ) \right | \leq \int_a ^b dx\Nde la que se trata. \left |g(x; \epsilon )-y(x; \epsilon ) \right |. \end {Ecuación} A partir de la condición de $y\sim g$ uniforme en $x$ podemos decir que para cualquier $E>0$ existe $D>0$ tal que \begin {align} | \epsilon | <& D & \Rightarrow && \int_a ^b dx\Nde la que se trata. \left |g(x; \epsilon )-y(x; \epsilon ) \right | <& E \int_a ^b dx\Nde la que se trata. \left |y(x; \epsilon ) \right |. \end {align} Observando que $y(x;\epsilon)>0$ y que $\int_a^b dx y(x;\epsilon) =1$ , \begin {Ecuación} E \int_a ^b dx\Nde la que se trata. \left |y(x; \epsilon ) \right | = \int_a ^b dx y(x; \epsilon ) = E. \end {Ecuación} Combinando las evaluaciones anteriores, podemos ver para cualquier $E'>0$ existe $D'$ tal que \begin {align} | \epsilon |<& D' & \Rightarrow && \left | \int_a ^b dx g(x; \epsilon )-1 \right | < E'. \end {align} De este modo verificamos la versión modificada de la proposición. (Fin de la prueba)
Editar 6:34:40 PM Martes, 31 de mayo de 2016 UTC
Pensé que la "proposición modificada" de arriba era equivalente a la siguiente y no me importaba mucho cuál publicar, pero me di cuenta de que no son equivalentes. De hecho, probablemente la siguiente es más probable en la aplicación.
(Proposición modificada 2) Si \begin {align} \int_a ^b dx\Nde la que se trata. \left |y(x; \epsilon ) \right | =& 1 && \text { para todos } \epsilon , \end {align} y si \begin {align} y(x; \epsilon ) \sim & g(x; \epsilon ) & \text { como } \epsilon \rightarrow & 0 && \text { uniformemente en } x, \end {align} entonces \begin {align} \int_a ^b dx g(x; \epsilon ) \sim & 1 & \text { como } \epsilon \rightarrow 0. \end {align} (Fin de la proposición)
La misma prueba escrita anteriormente se aplica a esta proposición.
