Hasta cierto punto, la norma del operador es sólo una forma de definir una estructura útil en el conjunto de operadores lineales. Y, como ya has mencionado, esta estructura se asemeja al espacio euclidiano habitual: puedes sumar y restar dos operadores, multiplicarlos por un escalar y medir "cómo de grande" es este operador. Esto se llama simplemente espacio vectorial normado . La razón por la que se necesita este tipo de estructura se revelará más adelante, cuando el autor hable de las pruebas de los teoremas de unicidad y existencia para las soluciones de las EDO.
Pero volvamos a tus preguntas.
Sin embargo, todavía no entiendo muy bien qué es la norma del operador de una transformación lineal o cuál es su propósito (aparte de que se utiliza para definir el concepto de convergencia en un espacio lineal).
Oye, no niegues este propósito, es muy útil e importante :)
La norma del operador también se puede utilizar al estudiar los métodos numéricos, por ejemplo, el concepto de número de condición puede describirse mediante normas de los operadores.
Hablando de lo que es la norma del operador, hay (al menos) 3 definiciones equivalentes de la norma del operador:
- $\| T \| = \max\limits_{x \neq 0} \; \frac{\vert Tx \vert}{\vert x \vert}$
- $\| T \| = \max\limits_{\vert x \vert \leqslant 1} \; \vert Tx \vert$
- $\| T \| = \max\limits_{\vert x \vert = 1} \; \vert Tx \vert$
Así, la primera definición compara la norma de la imagen $Tx$ con norma de $x$ entre todos los vectores no nulos del espacio vectorial. Por lo tanto, la norma del operador significa la máxima extensión relativa.
Las dos últimas definiciones pueden percibirse de forma más geométrica. El conjunto $\vert x \vert \leqslant 1$ es una bola unitaria cerrada en el espacio vectorial. Su imagen no es una bola, puede estar estirada a lo largo de algunos ejes y contraída a lo largo de otros o incluso transformada de manera más complicada (¡los valores propios al rescate!). La norma del operador nos dice que una bola cerrada de qué tamaño sería suficiente para contener toda la imagen de la bola unitaria - y su tamaño está determinado por la norma del punto más lejano de la imagen de la bola unitaria. En la definición tres sólo se mira la imagen de la esfera unitaria y todo lo demás es lo mismo.
Lo que me deja aún más perplejo es tratar de calcular la norma del operador de cualquier transformación lineal, por ejemplo
\begin{array} d \begin{bmatrix} 1&0\\5&1\\ \end{bmatrix} \end{array}
Puedo ofrecerte un sencillo truco. Hay algunas formas de calcular la norma de la matriz en casos de baja dimensión como 2 o 3 (usando la tercera definición de la norma de la matriz, será un problema de optimización no tan difícil de dimensión 1 o 2), pero no son de gran utilidad.
Entonces, queremos encontrar una norma de alguna matriz $A$ . Como estamos usando la norma euclidiana estándar, $\vert Ax \vert = \sqrt{(Ax, Ax)}$ , donde $( \cdot\, , \cdot )$ es el producto punto estándar en $\mathbb{R}^n$ . Así que $(Ax, Ax)$ es igual a $(Ax)^{\rm T}(Ax) = x^{\rm T} (A^{\rm T}A) x $ . La matriz $A^{\rm T}A$ es simétrica y semidefinida positiva. Ahora tenemos que $\| A \| = \max\limits_{\vert x\vert =1} \; \sqrt{x^{\rm T} (A^{T}A) x} $ . La solución al problema $\max\limits_{\vert x\vert =1} \; x^{\rm T} (A^{\rm T}A) x $ es conocido (basta con sustituir "hermitiano" por "simétrico" y todo estará bien). Entonces, la tarea de encontrar la norma del operador subordinado a la norma euclidiana estándar para la matriz $A$ es el mismo que el de encontrar el mayor valor propio de $A^{\rm T}A$ (y siempre está garantizado que sea no negativo ya que $A$ es simétrica y semidefinida positiva).
