Si $\phi$ y $\psi$ son homomorphisms entre grupos $G$ y $H$ $\phi \psi = Id_{H}$, entonces el $G \approx H \oplus \ker \psi$

Question

Recientemente me topé con la siguiente declaración:

Si $G$ e $H$ son grupos e $\phi : H \rightarrow G$ e $\psi : G \rightarrow H$ son homomorphisms con $\psi \circ \phi = Id_{H}$, a continuación, $G \approx H \oplus \ker \psi$. Creo que tengo una prueba, pero mi prueba se basa en la $G$ siendo Abelian. En el contexto, me encontrado con esto, cada grupo bajo consideración fue Abelian, pero esta declaración fue dada sin especificar de que ninguno de los grupos fue Abelian. Mi pregunta es si la Abelian condición es necesaria. Si no, ¿alguien puede dar una prueba de este hecho más general que sí, y si es así, ¿alguien puede proporcionar un contra-ejemplo? Si estoy en lo cierto que $G$ siendo Abelian es necesario, entonces, ¿alguien tiene un limpiador de prueba de que el rudo he proporcionado a continuación?

Un boceto rápido de mi prueba se incluye a continuación. Tenga en cuenta que estoy un poco flojo con la notación de uso de $+$ tanto para las operaciones en $G$ e $H$ y no he escrito todos los detalles. Espero que esto todavía es lo suficientemente clara como para tener una idea:

Considerar el mapa de $f : H \oplus \ker \psi \rightarrow G$ definido por $f(\left<h, k\right>) = \phi(h) + k$. Puedo reclamar $f$ es un isomorfismo. En primer lugar, si $\left<h_1, k_1\right>$ e $\left< h_2, k_2 \right>$ son elementos de $H \oplus \ker \psi$, a continuación, $f(\left<h_1, k_1\right> + \left< h_2, k_2 \right>) = f(\left< h_1 + h_2, k_1 + k_2\right>) = \phi(h_1 + h_2) + k_1 + k_2 = \phi(h_1) + \phi(h_2) + k_1 + k_2$. Si $G$ es Abelian, podemos continuar: $\phi(h_1) + \phi(h_2) + k_1 + k_2 = \phi(h_1) + k_1 + \phi(h_2) + k_2 = f(\left<h_1, k_1\right>) + f(\left<h_2, k_2\right>)$, lo $f$ es un homomorphism. Además, $f$ es inyectiva ya que $\phi(h) + k = 0$ implica $\phi(h) = -k$, lo $\psi(\phi(h)) = \psi(-k) = 0 = h$ usando ese $\psi \circ \phi = Id_{h}$ e $k \in \ker \psi$. Finalmente, $f$ es surjective por el Primer Teorema de Isomorfismo (sin la escritura de los detalles, el AJUSTE que nos dice que existe una correspondencia uno a uno entre los cosets de $\ker \psi$ y elementos de $\psi(G) = H$. Mediante este podemos ver que $\phi(H)$ contiene un representante de cada coset de $\ker \psi$ en $G$ y el resultado sigue).

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Un resultado de esta naturaleza que se llama un desdoblamiento lema y ha demostrado que es cierto para abelian grupos. No es cierto en general, y aquí es un ejemplo de que se puede encontrar en la página detalló un poco (que es el ejemplo más sencillo: tomar el mapa de $S_3 \rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ dada por el signo de una permutación. El kernel es $A_3$ , y la imagen es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. No es cierto que $S_3=A_3\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, lo que puede ser demostrado de muchas maneras, pero una de ellas es la nota que $\{e\}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es normal en $A_3\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ pero $S_3$ no tiene normal subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Answer 2

Lo cierto es que $G$ debe ser el semidirect producto de que el núcleo de $\phi$ e $\psi(H)$. Para demostrarlo, tenemos que mostrar la intersección de estos grupos es $\{1\}$ y cualquier elemento de $G$ es un producto de algo en el kernel de $\phi$ , y algo en la imagen de $\psi$.

La primera reivindicación de la siguiente manera a partir de $\phi\circ \psi = \text{id}_H$, ya que si $\phi(\psi(h)) = 1$, a continuación, $h = 1$ e lo $\psi(h) = 1$.

Para el segundo, dejó $g \in G$ y escribir $h = \phi(g)$. A continuación, $g\psi(h)^{-1}$ está en el núcleo de $\phi$ , lo $g = (g\psi(h))^{-1}\psi(h)$ es el producto de algo en el kernel de $\phi$ , y algo en la imagen de $\psi$, como se desee.

Ahora un semidirect producto no necesita ser un producto directo, pero lo será si es abelian.