La ley de Snell en forma vectorial

Question

La ley de refracción de Snell en la interfaz entre 2 medios isotrópicos viene dada por la ecuación: \begin {ecuación} n_1 \, \text en el que se ha producido un cambio en el comportamiento de la gente, \theta_1 = n_2 \, \text {\a6}*, \theta_2 \end {ecuación} donde $ \theta_1 $ es el ángulo de incidencia y $ \theta_2 $ el ángulo de refracción. $n_1$ es el índice de refracción del medio óptico frente a la interfaz y $n_2$ es el índice de refracción del medio óptico detrás de la interfaz.

¿Cómo puede expresarse esto en forma de vector? \begin {ecuación} n_1( \textbf {i} \times \textbf {n}) = n_2 ( \textbf {t} \times \textbf {n}) \end {ecuación} donde $ \textbf {i}(i_ \text {x}, i_ \text {y}$ y $i_ \text {z})$ y $ \textbf {t}(t_ \text {x}, t_ \text {y}, t_ \text {z})$ son la unidad direccional vector del incidente y el rayo transmitido, respectivamente. $ \textbf {n}(n_ \text {x}, n_ \text {y}, n_ \text {n})$ es la unidad normal vector a la interfaz entre los dos medios apuntando desde el medio 1 con el índice de refracción $n_1$ en el medio 2 con el índice de refracción $n_2$ .

Más aún, ¿cómo puede expresarse la ley de refracción de Snell $^ \text {1}$ de la siguiente manera? \begin {ecuación} t = \mu \textbf n \sqrt {1- \mu ^2[1-( \textbf y no se puede hacer nada más. \mu \textbf {n}( \textbf y la de los niños \end {ecuación} Aquí $ \mu = \dfrac {n_1}{n_2}$ y $ \textbf {n} \textbf {i}= n_{ \text {x}} i_{ \text {x}} + n_{ \text {y}}i_{ \text {y}} + n_{ \text {z}} i_{ \text {z}}$ denota el punto (escalar) producto de los vectores $ \textbf {n}$ y $ \textbf {i}$ .

Referencias:

1. Antonín Mikš y Pavel Novák, Determinación de los vectores normales unitarios de las superficies asféricas dados los vectores direccionales unitarios de los rayos entrantes y salientes: comentario, 2012 Optical Society of America, página 1356

Answer 1

Sea un vector unitario $\;\mathbf{n}=(\rm n_1,n_2,n_3)\,, \Vert\mathbf{n}\Vert=1$ . Cualquier vector $\;\mathbf{r}\;$ puede descomponerse en dos componentes con respecto a $\;\mathbf{n}\;$ , véase la Figura-01 en la parte inferior \begin {Ecuación} \mathbf {r}= \mathbf {r}_\|+ \mathbf {r}_ \bot \tag {01} \label {01} \end {Ecuación} una paralela y la otra normal al eje $\mathbf{n}$ respectivamente \begin {align} \mathbf {r}_\| &= \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {r} \right ) \mathbf {n} \tag {02.1} \label {02.1} \\ \mathbf {r}_ \bot &= \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \times } \mathbf {r} \right ) \boldsymbol { \times } \mathbf {n}= \mathbf {r}-( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {r}) \mathbf {n} \tag {02.2} \label {02.2} \end {align} es decir \begin {Ecuación} \mathbf {r}= \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {r} \right ) \mathbf {n}+ \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \times } \mathbf {r} \right ) \boldsymbol { \times } \mathbf {n} \tag {03} \label {03} \end {Ecuación} Los vectores $\;\mathbf{t},\mathbf{i}\;$ se descomponen como sigue \begin {Ecuación} \mathbf {t}= \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {t} \right ) \mathbf {n}+ \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \times } \mathbf {t} \right ) \boldsymbol { \times } \mathbf {n} \tag {04} \label {04} \end {Ecuación} \begin {Ecuación} \mathbf {i}= \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {i} \right ) \mathbf {n}+ \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \times } \mathbf {i} \right ) \boldsymbol { \times } \mathbf {n} \tag {05} \label {05} \end {Ecuación} Ahora, la Ley de Snell se expresa como \begin {Ecuación} \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \times } \mathbf {t} \right )= \mu\left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \times } \mathbf {i} \right ) \tag {06} \label {06} \end {Ecuación} ver Figura-02 en la parte inferior.

Ecuación \eqref {04} combinado con \eqref {05} y \eqref {06} produce \begin {Ecuación} \mathbf {t}= \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {t} \right ) \mathbf {n}+ \mu\left [ \mathbf {i}- \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {i} \right ) \mathbf {n} \right ] \tag {07} \label {07} \end {Ecuación} Tomar las normas en \eqref {07} y como el vector $\;\left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{t}\right)\mathbf{n}\;$ es normal al vector $\;\left[\mathbf{i}-\left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{i}\right)\mathbf{n}\right]\;$ \begin {Ecuación} \Vert\mathbf {t} \Vert ^2= \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {t} \right )^2+ \mu ^2 \Vert\mathbf {i}- \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {i} \right ) \mathbf {n} \Vert ^2 \tag {08} \label {08} \end {Ecuación} o \begin {ecuación} 1= \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {t} \right )^2+ \mu ^2 \left [1- \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {i} \right )^2 \right ] \tag {09} \label {09} \end {Ecuación} así que \begin {Ecuación} \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {t} \right )= \pm\sqrt {1- \mu ^2 \left [1- \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {i} \right )^2 \right ]} \tag {10} \label {10} \end {Ecuación} Dado que el ángulo entre $\;\mathbf{n},\mathbf{t}\;$ es menor que $\;\pi/2\;$ mantenemos el signo más en \eqref {10} y \eqref {07} da como resultado final \begin {Ecuación} \mathbf {t}= \sqrt {1- \mu ^2 \left [1- \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {i} \right )^2 \right ]} \mathbf {n}+ \mu\left [ \mathbf {i}- \left ( \mathbf {n} \boldsymbol { \cdot } \mathbf {i} \right ) \mathbf {n} \right ] \tag {11} \label {11} \end {Ecuación}

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Answer 2

Dos partes de esta respuesta: (1) un rápido esbozo de cómo se obtiene el resultado citado y (2) por qué creo que no se puede obtener un resultado menos incómodo y más sucinto.

Boceto de la prueba

Lo que no nos da la versión numérica de la ley de Snell, pero que siempre utilizamos inconscientemente, es el hecho igualmente importante de que el incidente $\vec{i}$ y los rayos refractados $\vec{r}$ y la interfaz normal $\vec{n}$ todos se encuentran en el mismo plano. En otras palabras, el rayo refractado se encuentra en el tramo $\left<\left\{\vec{i},\,\vec{n}\right\}\right>$ de $\vec{i}$ y $\vec{n}$ y así hay constantes $\alpha$ y $\beta$ tal que:

$$\vec{r} = \alpha\,\vec{i}+\beta\,\vec{n}\tag{1}$$

Otra implicación de esta afirmación es la siguiente: el vector $\vec{n}\times\vec{i}$ es la normal a este plano de vano. Así es $\vec{n}\times\vec{r}$ . Por lo tanto, $\vec{n}\times\vec{r}\propto \vec{n}\times\vec{i}$ . Ahora utiliza la ley numérica de Snell para encontrar la constante de proporcionalidad y obtienes la primera ecuación que citas.

Tome el producto cruzado de ambos lados de (1) con $\vec{n}$ :

$$\vec{n}\times\vec{r}=\alpha\,\vec{n}\times\vec{i}\tag{2}$$

y aplicar la forma de la ley de Snell que has citado para encontrar:

$$\alpha=\mu\tag{3}$$

Convengamos en trabajar con vectores normalizados, en cuyo caso tomando el producto interior de (1) consigo mismo se obtiene:

$$0 = 1-\mu^2 + \beta^2 + 2\,\mu\,\beta\, \langle \vec{i},\,\vec{n}\rangle\tag{4}$$

por lo que, al encontrar $\beta$ a partir de (3), el resultado se obtiene con un poco de lío. También hay que utilizar el hecho de que los componentes de $\vec{r}$ y $\vec{i}$ normales a la interfaz están en la misma dirección, no en la opuesta, para decidir el signo de la raíz de la ecuación de $\beta$ .

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¿Una versión más sencilla?

Se trata de una expresión complicada y torpe, difícil de trabajar, por lo que uno se pregunta si podría haber una expresión más elegante para algo tan trivial como la ley de Snell. Yo creo que no, y esto es porque:

(1) La ley de Snells resulta de una condición límite que implican densidades ópticas medias, por lo que no es un simple resultado geométrico. Si lo fuera, se obtendrían simples expresiones vectoriales o tensoriales;

(2) Como resultado de (1), la ley de Snell es una función no lineal de $\vec{i}$ y la relación $\mu$ . Esta no linealidad es la que genera la aberración óptica del frente de onda en los sistemas de lentes. Se puede escribir la ecuación derivada anteriormente como:

$$\vec{r} = \vec{n} + \mu\,(\mathrm{id}-\vec{n}\otimes\vec{n})\,\vec{i} +\left(-\frac{\mu^2}{2}\left(1-\langle\vec{n},\,\vec{i}\rangle^2\right)+\frac{\mu^4}{8}\left(1-\langle\vec{n},\,\vec{i}\rangle^2\right)^2 + \cdots\right)\vec{n}$$

Los dos primeros términos son la componente normal ( $\vec{n}$ ) y $\mu$ veces la proyección $(\mathrm{id}-\vec{n}\otimes\vec{n})\,\vec{i}$ proyección de $\vec{i}$ en la interfaz. Este segundo término expresa la conservación del momento óptico transversal que mantiene la descripción hamiltoniana de la óptica de rayos y la conservación de Étendue (el Teorema de Liouville óptico o segunda ley de la termodinámica aplicada a la luz) a través de interfaces discontinuas. Véase la última parte de mi respuesta aquí para un debate sobre este punto. Los otros términos son los responsables de las aberraciones ópticas; la consideración de los términos lineales junto con los dos escritos explícitamente anteriormente da lugar a la teoría de la aberración de Seidel. Si la ley de Snell fuera simplemente expresable en notación vectorial, el diseño de las lentes sería trivial.

(3) Si quisiéramos una teoría puramente geométrica, quizás se podría empezar por definir el tensor métrico en el medio como $n^2(x,\,y,\,z)$ por la matriz de identidad; la función de distancia es entonces la diferencia del camino óptico, y, como se ha comentado en mi respuesta la óptica de rayos se convierte en la teoría puramente geométrica de encontrar geodésicas en esta geometría riemanniana conformemente plana, con las geodésicas encontradas a partir de la ecuación de Euler-Lagrange $\ddot{X}^k + \Gamma^k_{ij}\,\dot{X}^i\,\dot{X}^j = 0$ parametrizado por el parámetro afín igual a la longitud de la trayectoria óptica. Así que podríamos esperar expresiones vectoriales simples que expresen relaciones puramente geométricas en este caso. Desgraciadamente, como se ha comentado en la respuesta, el enfoque hamiltoniano/geométrico de Riemann de seis dimensiones se rompe en las interfaces discontinuas y nos vemos obligados a volver al enfoque hamiltoniano de cuatro dimensiones que sólo incluye las componentes transversales, porque la ley de Snell sólo conserva los momentos ópticos transversales, pero no la normal, por lo que de nuevo nos vemos obligados a tratar con condiciones de contorno incómodas. Así que de nuevo creo que nos vemos obligados a llegar a la misma conclusión de que no existe una expresión geométrica más elegante para la ley de Snell.