¿Es el vector de parámetro de una distribución nos de un vector aleatorio transformado siempre un subvector...?

Question

Me gustaría, después de más consideraciones sobre este problema, para reformular esta pregunta mía de nuevo. Me llevó un registro de las últimas palabras y comentarios como el apéndice a continuación. Creo que la pregunta que realmente me molesta puede ser enunciada de la siguiente manera:

Si $\theta \in \mathbb{R}^{k}$si $W$ es un vector aleatorio en $\mathbb{R}^{r}$ a partir de una distribución de tener $\theta$ como el valor de su vector de parámetros, si $q \leq k$si $f: \mathbb{R}^{r} \times \mathbb{R}^{q} \to \mathbb{R}$ es medible (en el adecuado sentido), si las distribuciones $\{ \mathscr{P}_{f(W, b)} \}_{b \in \mathbb{R}^{q}}$ inducida por la variable aleatoria $f(W, \cdot)$ es identificable como $\mathbb{R}^{q}$, y si (sin costo de especialización como pueden ser examinadas) $\beta$ es tal que el primer momento de la $\mathscr{P}_{f(W, \beta)}$ es $= 0$, entonces es necesario que $\beta$ es un subvector de $\theta$?

Un ejemplo de ello más generales de configuración es una proyección ortogonal (modelo de identificación personal modelo lineal con regresores estocásticos).

Se tomó un largo tiempo para plantear la pregunta en mi mente, en la forma actual. Se podría decir que sería lo más cercano a lo que me gustaría saber, en la etapa actual.

Nota.

Palabras y comentarios antes de la versión revisada de esta pregunta en los párrafos siguientes:

Deje $p \in \mathbb{N}$; deje $\theta \in \mathbb{R}^{p}$; deje $(X,Y) \sim F^{\theta}_{X,Y}$ ser un vector aleatorio en $\mathbb{R}^{2}$ tal que $F^{\theta}_{X,Y}$ es el conjunto de CDF de $X$ e $Y$. Si hay exactamente una $b \in \mathbb{R}$ tal que $Y = Xb + U$ e $\mathbb{E}(U \mid X) = 0$, es necesario que $b$ es un componente de $\theta$? Como para demostrar que no importa la respuesta es afirmativa o no? Gracias (por seguro que, al menos a Whuber las preguntas de abajo, que la empujó para formar la actual cuidada forma de la pregunta).

Parece que hasta ahora me di cuenta de que el quid de mi pregunta. Gracias de nuevo a la retroalimentación de los proveedores de abajo, directamente o no. Permítanme utilizar este sencillo ejemplo a continuación para ilustrar mi confusión. Espero que este ejemplo también explicaría el primer párrafo mejor. Supongamos que la expectativa $\mathbb{E}(Y - Xb)^{2}$ es finito. Si $F_{U}^{b}$ es la CDF de $U$, entonces la expectativa puede ser obtenida a través de las dos integrales, es decir, $$ \mathbb{E} (Y - Xb)^{2} = \int_{\mathbb{R}^{2}} (y - xb)^{2} dF_{X,Y}(x,y) = \int_{\mathbb{R}} u^{2} dF^{b}_{U}(u). $$ Si la expectativa es considerada como la última integral, entonces depende de $b$ por supuesto. Me pregunto si $F_{X,Y}$ depende también de $b$ cuando se la considera como la primera integral? La notación $\mathbb{E}(Y - Xb)^{2}$ no proporciona información acerca de la distinción, la correcta? Este ejemplo no se ajusta a la pregunta del título mucho; sin embargo, me gustaría preguntarle al lector a examinar con más descuidado punto de vista, a menos que este desajuste hace que el lector completamente desorientado.

Answer 1

La pregunta pone dos funciones en la evidencia, que voy a llamar a $\theta$ e $t.$ son mapas de un espacio de $\mathcal F$ de las distribuciones definidas en $\mathbb{R}^2$ (o, más en general, cualquier conjunto en el que las distribuciones puede ser definido) en un "espacio en el parámetro" $\Theta\subset\mathbb{R}^p$ o de los números reales $\mathbb R.$

La parametrización de los asociados de los valores de los parámetros con la distribución y por lo tanto puede ser considerado como una invertible mapa

$$\theta:\mathcal{F} \to \Theta\subset \mathbb{R}^p.$$

La regresión parámetro $b$ de la pregunta es un ejemplo de una propiedad de una distribución. Que no es exactamente una $b$ por cada $f\in\mathcal F$ medio $b$ puede ser considerado como el valor de $t(f)$ de alguna función

$$t:\mathcal F \to \mathbb{R}.$$

Tenga en cuenta que los componentes de $\theta$ son automáticamente las propiedades de acuerdo a esta definición, porque la $i^\text{th}$ componente es la composición de $\theta$ y la proyección de $\pi_i:\mathbb{R}^p\to \mathbb{R},$

$$\theta_i:\mathcal F \to \mathbb{R}^p \to \mathbb R\\\theta_i(f)=\pi_i(\theta(f)),$$

y es por lo tanto un valor real de la función definida en $\mathcal F.$

La pregunta es si, para cualquier posible tal $\theta$ e $t,$ es necesariamente el caso de que exista un componente $i,$ $1\le i \le p,$ tales que

$$t(f) = \theta_i(f)$$

para todos los $f\in \mathcal F.$ Que claramente no es cierto, porque las distribuciones tienen infinidad de propiedades, pero sólo hay un número finito $p$ de los componentes de la $\theta.$ Por ejemplo, para cualquier número $x$ el mapa de $t+x:\mathcal{F}\to\mathbb R$ dada por

$$(t+x)(f) = t(f) + x$$

no es la misma propiedad como $t.$

Podríamos generalizar la pregunta de si $t$ debe depender de alguna manera en el parámetro. Esto es fácilmente demostrado ser el caso debido a que el invertibility de $\theta$ implica que para cualquier parámetro de $p\in\Theta$ hay un único, $f = \theta^{-1}(p)\in\mathcal F$ asociado con $p$ y

$$t(f) = t(\theta^{-1}(p)) = (t\circ \theta^{-1})(p)$$

define una función

$$t\circ\theta^{-1}:\mathbb{R}^p \to \mathbb{R}.$$

Para resumir estos dos conclusiones en palabras podemos decir

Los parámetros son propiedades de un finitely con parámetros de la familia de distribuciones, pero no son las únicas propiedades. Todas las propiedades son funciones de los parámetros, sin embargo.

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Aunque he estado en silencio acerca de los problemas técnicos de la continuidad (o mensurabilidad o la diferenciabilidad, dependiendo de la aplicación), el mismo análisis tiene bastante general, suponiendo que se aplican los mismos criterios a "propiedades" de lo que hacemos a "parámetros".