¿Por qué son equivalentes estas dos definiciones de la propiedad de Markov?

Question

Pregunta

Supongamos que $S$ es finito o contable subconjunto de $\mathbb R$ e $(\xi_n)_{n\in\mathbb N}$ es $S$valores de la secuencia de variables aleatorias. Son, entonces, estas dos definiciones de la propiedad de Markov equivalente?
1. Para todos los $n\in\mathbb N$ y todos los $s\in S$, $P(\xi_{n+1}=s|\xi_0,\ldots,\xi_n)=P(\xi_{n+1}=s|\xi_n)$.
2. Para todos los $n\in\mathbb N$ y para todas las $s_0,\ldots,s_{n+1}\in S$, $P(\xi_{n+1}=s_{n+1}|\xi_0=s_0,\ldots,\xi_n=s_n)=P(\xi_{n+1}=s_{n+1}|\xi_n=s_n)$.

Aquí, $P(A|\xi_0,\ldots,\xi_n):=P(A|\sigma(\xi_0,\ldots,\xi_n))=E(1_A|\sigma(\xi_0,\ldots,\xi_n))$ para todos los $A$ en el $\sigma$-álgebra de la probabilidad de espacio y todas las variables aleatorias $\xi_0,\ldots,\xi_n$.

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¿Cómo llegué a la pregunta

Estoy leyendo Brzezniak, Y Zastawniak. "Básicos De Procesos Estocásticos." En el libro se define la cadena de Markov como sigue(Nota de que (5.10) es igual a 1 en la pregunta):

Definición Supongamos que $S$ es finito o contable establecido. Supongamos también que la probabilidad de espacio $(\Omega,\mathcal F,P)$ es dado. Una $S$-valores de la secuencia de variables aleatorias $\xi_n$, $n\in\mathbb N$, es llamado un $S$valores de la cadena de Markov o una cadena de Markov en $S$ si para todas las $n\in\mathbb N$ y todos los $s\in S$ $$P(\xi_{n+1}=s|\xi_0,\ldots,\xi_n)=P(\xi_{n+1}=s|\xi_n).\tag{5.10}$$ Here $P(\xi_{n+1}=s|\xi_n)$ is the conditional probability of the event $\{\xi_{n+1}=s\}$ with respect to random variable $\xi_n$, or equivalently, with respect to the $\sigma$-field $\sigma(\xi_n)$ generated by $\xi_n$. Similarly, $P(\xi_{n+1}=s|\xi_0,\ldots,\xi_n)$ is the conditional probability of $\{\xi_{n+1}=s\}$ with respect to the $\sigma$-field $\sigma(\xi_0,\ldots,\xi_n)$ generated by the random variables $\xi_0,\ldots,\xi_n$.
Propiedad (5.10) normalmente se conoce como la propiedad de Markov de la cadena de Markov $\xi_n$, $n\in\mathbb N$. El conjunto $S$ es llamado el espacio de estado y los elementos de $S$ son llamados estados.

Pero en la prueba de la proposición que sigue, se dice:

...
Una línea similar de razonamiento muestra que $\xi_n$ es de hecho una cadena de Markov. Para ello tenemos que comprobar que para cualquier $n\in\mathbb N$ y cualquier $s_0,s_1,\ldots,s_{n+1}\in S$ $$P(\xi_{n+1}=s_{n+1}|\xi_0=s_0,\ldots,\xi_n=s_n)=P(\xi_{n+1}=s_{n+1}|\xi_n=s_n).$$ ...

Es la afirmación de que el 2 en mi pregunta implica 1. No da ninguna prueba de ello. Estoy bastante seguro de que 1 implica también la 2, porque si usted ve la "definición" en este enlace: https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_property
hay una formulación que es lo mismo que 2.

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Mi intento

No veo realmente una manera de empezar.
Para el 1 $\to$ 2, me puse a$\zeta_0=P(\xi_{n+1}=s_{n+1}|\xi_0,\ldots,\xi_n)$, $\zeta_1=P(\xi_{n+1}=s_{n+1}|\xi_n)$. Yo también se poner $A=\{\xi_{0}=s_0\}\cap\cdots\cap\{\xi_n=s_n\}$, $B=\{\xi_n=s_n\}$. Me encontré con que $\int_A\zeta_0dP=\int_A\zeta_1dP=P(\xi_0=s_0,\ldots,\xi_{n+1}=s_{n+1})$ e $\int_B\zeta_0dP=\int_B\zeta_1dP=P(\xi_n=s_n,\xi_{n+1}=s_{n+1})$. Pero no sé cómo continuar o si esta ayuda.

Answer 1

No, la forma en que dijo las definiciones que no son equivalentes. Las razones es que no puede ser null establece que causa problemas. Por ejemplo, si $\xi_n = \sum_{j=1}^n X_j$ es una simple caminata al azar, a continuación, $(\xi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ satisface la primera definición, pero no la segunda; sólo tenga en cuenta que $$\mathbb{P}(\xi_2 = 2 \mid \xi_0 = 5, \xi_1 = 1) = 0 \neq \mathbb{P}(\xi_2 = 2 \mid \xi_1=1)>0.$$

Es posible, sin embargo, para mostrar la siguiente declaración:

Teorema Deje $S$ ser una contables conjunto y $(\xi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una secuencia de $S$valores de las variables aleatorias. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $\mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_0,\ldots,\xi_n) = \mathbb{P}(\xi_{n+1}= s \mid \xi_n)$ para todos los $n \in \mathbb{N}$ e $s \in S$,
2. Si $n \in \mathbb{N}$ e $s_0,\ldots,s_n \in S$ son tales que $$\mathbb{P}(\xi_0=s_0,\ldots,\xi_n=s_n)>0$$ then $$\mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_0 = s_0,\ldots,\xi_n = s_n) = \mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_n = s_n) \quad \text{for all $s \in S$.}$$

Para la prueba vamos a utilizar los siguientes auxiliares de la declaración:

Lema Deje $U$ ser una contables conjunto y $Y$ una $U$valores de variable aleatoria. Entonces $$\mathbb{P}(1_A \mid Y) = g(Y) \quad \text{a.s.} \tag{1}$$for $$g(y) := \mathbb{P}(A \mid Y=y) ´, \qquad y \in U. \tag{2}$$

En $(2)$, $\mathbb{P}(A \mid Y=y)$ denota la clásica de la probabilidad condicional, es decir, $$\mathbb{P}(A \mid Y=y) = \begin{cases} \frac{\mathbb{P}(A \cap \{Y=y\})}{\mathbb{P}(Y=y)}, & \mathbb{P}(Y=y)>0, \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}. $$

La prueba del lema: La variable aleatoria $g(Y)$ es claramente $\sigma(Y)$medible, para demostrar $(1)$ por lo tanto permanece para mostrar que $$\int_F 1_A \, d\mathbb{P} = \int_F g(Y) \, d\mathbb{P} \tag{3}$$ for all $F \in \sigma(S)$. Since the $\sigma$-algebra $\sigma(S)$ is generated by sets of the form $\{Y=u\}$, $u \U$, it suffices to check $(3)$ for $F=\{Y=u\}$ with $u \en U$ fijo. Se consideran dos casos por separado:

• Si $u$ es tal que $\mathbb{P}(Y=u)=0$, es decir, $\mathbb{P}(F)=0$, entonces claramente ambos lados de $(3)$ igual a $0$.
• Si $u$ es tal que $\mathbb{P}(Y=u)>0$, luego $$\int_F g(Y) \, d\mathbb{P} = \int_{\{Y=u\}} \underbrace{g(Y)}_{g(u)} \, d\mathbb{P} = g(u) \mathbb{P}(Y=u).$$ By the definition of $g$, we have $g(u) = \mathbb{P} (\mediados de Y=u) = \mathbb{P}(A \cap \{Y=u\})/\mathbb{P}(Y=u)$, and so $$\int_F g(Y) \, d\mathbb{P} = \mathbb{P}(A \cap \{Y=u\}) = \int_{\{Y=u\}} 1_A \, d\mathbb{P} = \int_F 1_A \, d\mathbb{P}.$$

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Prueba del teorema: Fix $s \in S$ e $n \in \mathbb{N}$. Por el lema anterior, tenemos

$$\mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_0,\ldots,\xi_n) = g(\xi_0,\ldots,\xi_n) \quad \text{and} \quad \mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_n) = h(\xi_n) \tag{4}$$ where $$\begin{align*} g(y_0,\ldots,y_n) &:= \mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_0=y_0,\ldots,\xi_n=y_n)\\ h(y_n) &:= \mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_n = y_n) . \end{align*}$$

$1. \implies 2.$: Vamos a $s_0,\ldots,s_n$ ser tal que $F:=\{\xi_0=s_0,\ldots,\xi_n = s_n\}$ satisface $\mathbb{P}(F)>0$. Por supuesto, y $(4)$, tenemos $$g(\xi_1,\ldots,\xi_n) = \mathbb{P}(\xi_{n+1} =s \mid \xi_0,\ldots,\xi_n) = \mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_n) = h(\xi_n).$$ In particula, $$1_{\{\xi_0=s_0,\ldots,\xi_n = s_n\}} g(\xi_1,\ldots,\xi_n) = 1_{\{\xi_0=s_0,\ldots,\xi_n = s_n\}} h(\xi_n),$$ i.e. $$1_{\{\xi_0=s_0,\ldots,\xi_n = s_n\}} g(s_0,\ldots,s_n) = 1_{\{\xi_0=s_0,\ldots,\xi_n = s_n\}} h(s_n).$$ Since $\mathbb{P}(\xi_0=s_0,\ldots,\xi_n=s_n)>0$, this is equivalent to saying that $$g(s_0,\ldots,s_n) = h(s_n);$$ by the very definition of $g$ and $h$ this yields $$\mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_0=s_0,\ldots,\xi_n=s_n) = \mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_n = s_n).$$

$2. \implies 1.$: Si 2. sostiene entonces se sigue de la definición misma de $g$ e $h$ que $$g(y_0,\ldots,y_n) = h(y_n)$$ for all $y_0,\ldots,y_n \en S$ such that $\mathbb{P}(\xi_0=y_0,\ldots,\xi_n=y_n)>0$. Hence, $$g(\xi_0,\ldots,\xi_n) = h(\xi_n) \quad \text{a.s.}$$ which implies by $(4)$ that $$\mathbb{P}(\xi_{n+1} = s \mid \xi_0,\ldots,\xi_n) = \mathbb{P}(\xi_{n+1}= s \mid \xi_n) \quad \text{a.s.}$$