¿Cuántas soluciones de $3z^5 + z^2 + 1=0$ tienen en $1<|z|<2$ .

Question

Usé el teorema de Rouche. Obtuve $5$ soluciones en $1<|z|<2$ . ¿Es correcto mi planteamiento?

Answer 1

Todas las soluciones $z\in\mathbb{C}$ de $3z^5+z^2+1=0$ satisfacer $|z|<1$ . Estoy ofreciendo una prueba elemental. También puedes utilizar el Teorema de Rouché para demostrarlo.

Si $3z^5+z^2+1=0$ entonces $$3\,|z|^5=\left|3z^5\right|=\left|-z^2-1\right|\leq \left|-z^2\right|+|-1|=|z|^2+1\,.$$ Si $|z|\geq 1$ entonces tenemos que $$3\,|z|^5>2\,|z|^5=|z|^5+|z|^5\geq |z|^2+1\,,$$ que es una contradicción. Por lo tanto, todas las soluciones $z\in\mathbb{C}$ de $3z^5+z^2+1=0$ satisfacer $|z|<1$ .
Se puede mejorar el límite mostrando que las raíces deben satisfacer $$0.7=\frac{7}{10}<|z|<\dfrac{\sqrt[3]{20}}{3}<0.905\,.$$ Es una delicia ver que el límite superior es muy agudo. La raíz con el módulo máximo tiene el módulo de alrededor de $0.9047$ y $\dfrac{\sqrt[3]{20}}{3}\approx 0.9048$ . El límite inferior tampoco es malo, ya que la raíz con el módulo mínimo tiene el módulo de aproximadamente $0.7208$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que para $|z|=1$ , $$ |3z^5| = 3 > 1+1 \geq |z^2 + 1| $$ por lo que Rouche implica que hay 5 raíces dentro del disco unitario. El principal problema de tu argumento es que tienes que comprobar qué función domina en la frontera del contorno elegido.

Answer 3

Una trama ilustrativa

Como $3z^5+z^2+1 = \phi(x,y) + i \psi(x,y) = 0$ tenemos $\phi(x,y)=0$ en rojo y $\psi(x,y) = 0$ en azul.