Resolución de PDE no lineal no homogénea de primer orden utilizando el método de características

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación diferencial parcial

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+(A+2B\rho)\frac{\partial \rho }{\partial x}=0$$ donde $A$ e $B$ son constantes. Esto sirve para modelar la densidad de tráfico $x$ metros detrás de algunos de los semáforos $t$ segundos después de que la luz cambie a verde.

Mis características son las siguientes:

$$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}=1,\qquad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}=A+2B\rho,\qquad\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}s}=0.$$

Esto significa que $t=t_0+s$ y que $\rho = \rho_0$. Desde $t_0=0$ (el tiempo inicial), $t = s$.

Me quieren imponer que la densidad es constante (es decir $\rho_{\max}$) $t=0$, como en, los coches son todos tan cerca el uno del otro como sea posible detrás de la luz de tráfico antes de que comience a moverse. Sin embargo, para mí esto sugiere que $\rho_0 = \rho_{\max}$, lo que sugiere que $\rho\equiv\rho_{\max}$. Esto no tiene sentido para mí en el contexto del problema.

Es este un problema con el uso del método, o tengo yo simplemente no configurar mi condición inicial correctamente?

Answer 1

Usted hizo plantear bien el sistema, pero tal vez es más fácil obtener la solución general por medio de la siguiente auxiliar del sistema de las Odas:

$\dfrac{dt}{1}=\dfrac{dx}{A+2B\rho}=\dfrac{d\rho}{0}$

La última relación significa que $\rho=c_1$ para algunas constantes $c_1$. Podemos utilizar este hecho y la primera proporción a resolverlo.

$\dfrac{dt}{1}=\dfrac{dx}{A+2Bc_1}$

$(A+2B\rho)t=x+c_2$

En el pasado, una relación entre los $c_1$ e $c_2$ debe existir: $c_2=f(c_1)$ (diferenciable, la única variable de la función $f$), lo que lleva a la solución general:

$(A+2B\rho)t=x+f(\rho)$

Sus preguntas sobre el cambio en la densidad sólo pueden ser respondidas cuando las condiciones iniciales son conocidos. E. g. una densidad constante para un rango de $x$, $t=0$, e $0$ en otros lugares. Que tipo de problemas se necesita una cierta cantidad de extra supuestos a ser resuelto.

Answer 2

Haciendo $u = A+2B \rho$ tenemos un PDE equivalente

$$ u_t + u u_x = 0 $$

ahora haciendo $u(x,t) = X(x)T(t)$ tenemos

$$ X (x) T '(t) + X (x) T (t) X' (x) T (t) = 0 $$

o

$$ \ frac {T '(t)} {T ^ 2 (t)} + X' (x) = 0 \ Rightarrow \ frac {T '(t)} {T ^ 2 (t)} = k = - X '(x) $$

etc.