Combinatoria - Secuencias con repetición y restricciones.

Question

Pregunta: ¿cuántas secuencias de cinco elementos con repetición pueden ser creados a partir de elementos de las $\{1,2,3,4,5,6\}$ en el que el último dígito es igual a cualquiera de las cifras anteriores?

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Mi Respuesta: Vamos a usar la inclusión-exclusión principio. En primer lugar, necesitamos saber el número de todas las secuencias, que es: $6^5$ ya que estamos permitiendo la repetición. A continuación, vamos a definir los conjuntos de $k\in\{1,2,3,4,5,6\}$: $$ C_k = \{ \text{secuencias con el último dígito de la igualdad de k y anteriores dígitos diferentes de k}\} $$ Claramente los conjuntos de $C_k$ son distintos, ya que no hay ninguna secuencia igual a otro con los últimos dígitos de ser diferentes. Por lo tanto, la respuesta es: $$ 6^5 - |C_1\copa C_2 \copa C_3 \copa C_4 \copa C_5 \copa C_6| = 6^5 - 6\cdot 5^4 $$

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Es mi respuesta correcta? Cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias!

Answer 1

Sí, esto parece correcto. Otro método es contar directamente las secuencias donde el último dígito es igual a cualquier otro:

$6 - - - 6 \to 6^3$

$-\ 6 - -\ 6 \to 5\cdot 6^2$

$- - 6 - 6 \to 5^2\cdot 6$

$- - -\ 6\ 6 \to 5^3$

Hay $6$ de las secuencias anteriores, una para cada número en el conjunto.

$6(6^3 + 5\cdot 6^2 + 5^2\cdot 6 + 5^3) = 4026$