Encontré otro patrón en la secuencia de Fibonacci, alguien puede explicarme por qué?

Question

Creo que me topé con algo, y yo sólo quería preguntar por qué este patrón se produce. Yo no soy un matemático

Pongo la secuencia en excel (si alguien quiere que aquí hay un enlace https://oeis.org/A000045/b000045.txt ) y de 20 de número a partir de un patrón emerge con el mayor dígito.

6765 por lo que el 6

10946 el 1

17711 el 1

28657 el 2

46368 el 4

75025 el 7

121393 el 1

196418 el 1

317811 el 3

514229 th 5

832040 el 8

1346269 el 1

2178309 el 2

3524578 el 3

5702887 el 5

9227465 el 9

14930352 el 1

24157817 el 2

39088169 el 3

El número 6, a continuación, comienza de nuevo en el número 39,

y el 40 comienza con 1

y la 41ª comienza con 1

y la 42ª comienza con 2

y la 43ª comienza con 4

y la 44ª comienza con 7

y el 45 comienza con 1

así que de nuevo la 6112471.... comienza a aparecer.

Pensé en escribir cada vez que veo este 6 en la secuencia comienza de nuevo.

Lista de la línea en la 6 de la secuencia se repite. 20 (como se muestra con el primer ejemplo), 39, 63, 87, 106, 130, 154, 173, 197, 221, 240, 264, 288, 307, 331, 355, 374, 398, 422, 441, 465, 484, 508 ,532 , 551, 575, 599, 618, 642, 666, 685, 709, 733, 752, 776, 800, 819, 843, 867, 886, 910, 934, 953, 977, 996, 1020, 1044, 1063, 1087, 1111, 1130, 1154, 1178, 1197, 1221, 1245, 1264, 1288, 1312, 1331, 1355, 1379, 1398, 1422, 1441, 1465

Como se verá a continuación, este patrón se repite (0r el 6 1 1 2 4 7 1) empieza de nuevo cada 19, 24, 24 veces, respectivamente, 6 veces.

39 - 20 = 19

63 - 39 = 24

87 - 63 = 24

106 - 87 = 19

130 - 106 = 24

154 - 130 = 24

173 - 154 = 19

197 - 173 = 24

221 - 197 = 24

240 - 221 = 19

264 - 240 = 24

288 - 264 = 24

307 - 288 = 19

331 - 307 = 24

355 - 331 = 24

374 - 355 = 19

398 - 374 = 24

422 - 398 = 24

441 - 422 = 19

465 - 441 = 24

484 - 465 = 19

508 - 484 = 24

532 - 508 = 24

551 - 532 = 19

575 - 551 = 24

599 - 575 = 24

618 - 599 = 19

642 - 618 = 24

666 - 642 = 24

685 - 666 = 19

709 - 685 = 24

733 - 709 = 24

752 - 733 = 19

776 - 752 = 24

800 - 776 = 24

819 - 800 = 19

843 - 819 = 24

867 - 843 = 24

886 - 867 = 19

910 - 886 = 24

934 - 910 = 24

953 - 934 = 19

977 - 953 = 24

996 - 977 = 19

1020 - 996 = 24

1044 - 1020 = 24

1063 - 1044 = 19

1087 - 1063 = 24

1111 - 1087 = 24

1130 - 1111 = 19

1154 - 1130 = 24

1178 - 1154 = 24

1197 - 1178 = 19

1221 - 1197 = 24

1245 - 1221 = 24

1264 - 1245 = 19

1288 - 1264 = 24

1312 - 1288 = 24

1331 - 1312 = 19

1355 - 1331 = 24

1379 - 1355 = 24

1398 - 1379 = 19

1422 - 1398 = 24

1441 - 1422 = 19

1465 - 1441 = 24 (excel alcanzado el límite después de esto, no podría continuar) El 6 repeticiones de secuencia 19, 24, 24 intervalo de 6 veces, respectivamente, para el 19 de cosecutive veces.

¿Alguien tiene una explicación?

También sé que los números no deben ser mirados desde el mayor número solos, sino como un todo, pero es algo que me di cuenta

Gracias de antemano

Answer 1

La secuencia de Fibonacci es el ejemplo canónico de una clase general de (generalmente entero) secuencias en las que cada elemento es la suma de los dos anteriores elementos. La serie de Fibonacci es la que comienza $(0,) 1, 1$. Lucas comienza la serie de $1, 3$, y así sucesivamente.

Es un hecho interesante (no es tan difícil de demostrar) que en todas las secuencias, la relación entre elementos consecutivos se aproxima a un valor límite-en realidad, el mismo valor de limitación para todo tipo de secuencias. Que la limitación de valor es

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \aprox 1.618 $$

donde $F_n$ es el $n$ésimo número de Fibonacci (pero de nuevo, esto funciona para Lucas números demasiado). Esta convergencia ocurre con bastante rapidez:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline n & F_n & F_{n+1} & F_{n+1}/F_n \\ \hline 2 & 1 & 2 & 2 \\ \hline 3 & 2 & 3 & 1.5 \\ \hline 4 & 3 & 5 & 1.667 \\ \hline 5 & 5 & 8 & 1.6 \\ \hline 6 & 8 & 13 & 1.625 \\ \hline 7 & 13 & 21 & 1.615 \\ \hline 8 & 21 & 34 & 1.619 \\ \hline 9 & 34 & 55 & 1.618 \\ \hline 10 & 55 & 89 & 1.618 \\ \hline \end{array} $$

Así que antes hemos dejado de doble dígitos, ya hemos aproximado a$\varphi$ a cuatro dígitos significativos. ¿Qué significado tiene esto para la presente pregunta? El primer dígito es una burda representación de la mantisa o mantisa (el primero es un término ambiguo) de un valor numérico. La mantisa, como el nombre sugiere, da las cifras significativas de un valor. Por ejemplo, la mantisa de un número en notación científica-es decir, $6.022 \times 10^{23}$-es que $6.022$ (o quizás $6022$).

Bien, si multiplicamos un número que comienza con $6$ por $\varphi \approx 1.618$, el resultado será un valor cuya mantisa es de al menos

$$ 6\varphi \aprox 9.708 $$

pero menos de

$$ 7\varphi \aprox 11.326 $$

Si tuviéramos que imaginar que nuestro valor inicial se distribuye uniformemente a través de todos los números que comienzan con $6$ (en ningún sentido razonable de "uniformemente distribuida"), acerca de la $80$ por ciento de los resultados, se iniciará con una $1$.

Así, la mayoría del tiempo que usted tiene un número Fibonacci que comienza con $6$, el valor siguiente comenzará con $1$. Lo que es más, $100$ por ciento del tiempo, el próximo el próximo número de comenzar con $1$ también, debido a que el número de la mantisa debe ser de al menos

$$ 6\varphi^2 \aprox 15.708 $$

pero menos de

$$ 7\varphi^2 \aprox 18.326 $$

Y $100$ por ciento del tiempo, el siguiente número comenzará con $2$, y así sucesivamente. De hecho, la secuencia completa citado-$6, 1, 1, 2, 4, 7, 1$-se producirá a partir de cualquier número Fibonacci cuya mantisa es, al menos, $70/\varphi^5 \approx 6.312$ pero menos de $7$. Así que no es de extrañar que una vez que vea una serie de números que comienzan con $6$, vas muy frecuente ver la secuencia inicial de dígitos.

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Ahora, ¿por qué este patrón se repita después de los intervalos de longitud de $19$ e $24$? Nos dimos cuenta de que en el fin de observar la secuencia inicial de dígitos $6, 1, 1, 2, 4, 7, 1$, sólo necesitamos un número Fibonacci cuya mantisa es mayor a $6.312$ y menos de $7$. Si usted tiene un número-por ejemplo, $F_{20} = 6765$, cuando se espera que el siguiente número se muestran en la secuencia de Fibonacci?

Sabemos, a partir de la discusión anterior que $F_{21}$ va a ser muy cerca de $\varphi F_{20}$que $F_{22}$ va a ser muy cerca de $\varphi^2 F_{20}$, y, en general, que $F_{20+k}$ va a ser muy cerca de $\varphi^k F_{20}$. Así que el siguiente número de Fibonacci para comenzar con una mantisa en nuestro rango objetivo implicará una potencia entera de $\varphi$ que también está cerca de una potencia entera de $10$. Y, por supuesto, $\varphi^{19} \approx 9349$, y

$$ \varphi^{19} F_{20} \approx F_{39} = 63245986 $$

cuya mantisa es nuevo (apenas) dentro de nuestra gama.

Verás que comenzamos con un número $F_{20}$ cuyo mantisa estaba justo en el medio del rango meta, y que terminaron con un número $F_{39}$ cuyo mantisa está apenas por encima de nuestro límite inferior. Eso es debido a que $\varphi^{19}$ no es una potencia de $10$, pero un poco más baja que él. Así que a veces, necesitamos un poder de $\varphi$ que está un poco por encima de un poder de $10$, a empujar a que la mantisa copia de seguridad. Y $\varphi^{24} \approx 103682$ obliga bastante bien, por lo que se muestra como un intervalo demasiado. Lo que es más, debido a que $103682$ está más cerca de su poder de $10$ que $9349$ es su poder de $10$, sería de esperar que $24$ a aparecer más a menudo de lo que $19$-aproximadamente el doble de la frecuencia, debido a que $10000-9349 = 651$ e $103682-100000 = 3682$. Y eso es lo que en realidad se encuentra.

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Por cierto, si realmente calcular el $\varphi^{19}$ e $\varphi^{24}$, verás que son muy cercanos a $9349$ e $103682$; las diferencias son acerca de $0.0001$ e $0.00001$, respectivamente. Esto no es una coincidencia! Pero esa es una cuestión para otro momento.