Tiene problemas para mostrar una función es continua: $x/(1+|x|)$

Question

Estoy teniendo problemas para mostrar que una función es continua en el uso de la $\epsilon, \delta$ definición.

Mi función $f:\mathbb{R}\rightarrow(-1,1)$ se define como $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.

Mirando el gráfico, la función es claramente continua, pero cuando me expandir yo no llegar a ninguna parte: $ |f(x) - f(x_0)| = |\frac{x}{1+|x|} - \frac{x_0}{1+|x_0|}| = |\frac{x(1+|x_0|) - x_0(1+|x|) }{(1+|x|)(1+|x_0|)}|$

Esto no parece simplificar mucho a todos, no puedo encontrar una $\delta$ que satisface: $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x,y, \in \mathbb{R}, |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $

Me estoy perdiendo algo aquí? Cualquier consejo es muy apreciada.

Answer 1

Para lo que sigue voy a necesitar esta desigualdad:

$$||x| - |y|| \leq |x - y|$$

y ahora vamos a $\delta$ ser fijo. Vamos a ver que $|x - x_0| < \delta$ hará $|f(x) - f(x_0)|$ muy pequeño y controlable, y luego vamos a revertir la ingeniería de la $\delta$ necesitaríamos para una arbitraria $\epsilon$:

De inicio, tal y como hizo, pero luego de hacer esto en el numerador:

$$x(1 + |x_0|) - x_0(1 + |x|) = x(1+|x_0|) - x_0(1 + |x_0|) + x_0(1 + |x_0|) - x_0(1 + |x|)$$

Ahora podemos reescribir el numerador:

$$x(1+|x_0|) - x_0(1 + |x_0|) + x_0(1 + |x_0|) - x_0(1 + |x|) = (x- x_0)(1 + |x_0|) + x_0(|x_0| - |x|)$$

y enchúfelo en la fracción que había:

$$\frac{|(x- x_0)(1 + |x_0|) + x_0(|x_0| - |x|)|}{|(1 + |x|)(1 + |x_0|)|}$$

el uso de la desigualdad triangular para dividir el numerador en

$$\frac{|(x- x_0)(1 + |x_0|) + x_0(|x_0| - |x|)|}{|(1 + |x|)(1 + |x_0|)|} \leq \frac{|(x- x_0)(1 + |x_0|)|}{|(1 + |x|)(1 + |x_0|)|} + \frac{|x_0(|x_0| - |x|)|}{|(1 + |x|)(1 + |x_0|)|}$$

Ahora, por un lado,

$$\frac{|(x- x_0)(1 + |x_0|)|}{|(1 + |x|)(1 + |x_0|)|} = \frac{|(x- x_0)|}{|(1 + |x|)|} \leq \delta$$

y por otro lado,

$$ \frac{|x_0(|x_0| - |x|)|}{|(1 + |x|)(1 + |x_0|)|} \leq \frac{|(|x_0| - |x|)|}{|(1 + |x|)|} \leq \frac{|x_0 - x|}{|(1 + |x|)|} \leq \delta$$

Por lo tanto $|x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < 2\delta$.

Esto significa que, dado un $\epsilon$, solo tome $\delta = \epsilon/2$.

Answer 2

Una forma de simplificar el problema es tener en cuenta que $f$ es una función impar, así que sin pérdida de generalidad, se puede suponer que la $x_0\in (0,\infty).$ por supuesto, esto significa que $|z|=z$ para $z\in (0,\infty).$ por lo Tanto, tenemos

$|f(x) - f(x_0)| = |\frac{x}{1+|x|} - \frac{x_0}{1+|x_0|}| = |\frac{x(1+|x_0|) - x_0(1+|x|) }{(1+|x|)(1+|x_0|)}|=|\frac{x-x_0 }{(1+|x|)(1+|x_0|)}|\le \frac{|x-x_0|}{2},$ and this implies that we may take $\delta <\min (d(x_0,0),2\epsilon)=\min (x_0,2\epsilon).$

Nota: si usted no desea utilizar el hecho de que $f$ es impar, usted puede simplemente repetir el cálculo anterior para $x_0\in (-\infty,0).$ El único cambio que hará es que $|z|=-z$ y esto le dará la estimación de $\delta<\min (|x_0|,2\epsilon).$

Esto deja a la prueba de continuidad en el $x_0=0.$ En este caso, usted tiene

$|f(x) - f(0)| = |\frac{x}{1+|x|}|\le |x|$ y usted puede tomar $\delta<\epsilon.$

Answer 3

Para cualquier <span class="math-container">$\epsilon>0\ $</span> y cualquier <span class="math-container">$x_0\in \mathbb{R}$</span> <span class="math-container">$$ \delta =\begin{cases} \epsilon;\ x_0=0\ \min{\epsilon,|x_0|};\ x_0\not =0\ \end{cases}$$ For this choice of <span class="math-container">$\delta$</span>, If <span class="math-container">$x_0\not = 0 $</span> and <span class="math-container">$ | x-x_0 | then <span class="math-container">$x, x_0 $</span> has the same sign so <span class="math-container">$ | x | x_0 = x | x_0 | $</span> and you can show that <span class="math-container">$% $ $|f(x)-f(x_0)|\leq |x-x_0|\leq\epsilon$</span> y listo.</span></span>