Rastrear la desigualdad para un producto de matrices psd y su pseudoinversa.

Question

Deje que $A, B_i$ sean matrices reales semidefinitas positivas. Dejemos que $\dagger$ represente el inverso generalizado de Moore-Penrose. Logré demostrar que si $\operatorname{Ran}B_1\subseteq\operatorname{Ker}B_2$ entonces $$\operatorname{trace}\left((A + B_1 + B_2)^\dagger B_1 \right) \leq\operatorname{trace}\left(( A + B_1)^\dagger B_1\right)

¿Todavía se mantiene sin este supuesto?

Answer 1

Sí. En general, si $X,Y$ son positivos semidefinite y $P=XX^\dagger$ denota la proyección ortogonal en $\operatorname{ran}(X)$, a continuación, $P(X+Y)^\dagger P\preceq X^\dagger$. Esto puede ser demostrado fácilmente mediante el uso de Schur complementa.

Ahora, si pones $X=A+B_1$ e $Y=B_2$, se obtiene $$B_1^{1/2}P(a+B_1+B_2)^\daga PB_1^{1/2}\preceq B_1^{1/2}(A+B_1)^\daga B_1^{1/2}.$$ Desde $B_1^{1/2}P=PB_1^{1/2}=B_1^{1/2}$, el resultado de la siguiente manera.

Edit. Si $X=0$, la desigualdad de $P(X+Y)^\dagger P\preceq X^\dagger$ significa, simplemente, $0\preceq0$. Supongamos $X$ es PSD pero distinto de cero. Desde $\operatorname{ran}(X)\subseteq\operatorname{ran}(X+Y)$, por un cambio de base ortonormales, podemos suponer que la $$X=\pmatrix{X_1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0},\ P=\pmatrix{I&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0},\ Y=\pmatrix{H&R&0\\ R^T&S&0\\ 0&0&0},\ X+Y=\pmatrix{X_1+H&R&0\\ R^T&S&0\\ 0&0&0}$$ donde $X_1$ e $Z:=\pmatrix{X_1+H&R\\ R^T&S}$ son la matriz de las representaciones de $X|_{\operatorname{ran}(X)}$ e $(X+Y)|_{\operatorname{ran}(X+Y)}$ , respectivamente, y se positiva definida.

Como $Z\succ0$, debemos tener $S\succ0$. Sin embargo, $Y\succeq0$ por supuesto. Por lo tanto, el complemento de Schur $H-RS^{-1}R^T$ debe $\succeq0$. De ello se desprende que $X_1+H-RS^{-1}R^T\succeq X_1\succ0$ y a su vez $0\prec X_1^{-1}\preceq(X_1+H-RS^{-1}R^T)^{-1}$. Pero esto significa $P(X+Y)^\dagger P\preceq X^\dagger$, debido a que $$X^\daga=\pmatrix{X_1^{-1}&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0},\ (X+Y)^\daga=\pmatrix{(X_1+H-R^{-1}R^T)^{-1}&\ast&0\\ \ast&\ast&0\\ 0&0&0},$$