¿Qué son $f\circ\emptyset$ y $\emptyset\circ f$ si $\circ$ es la composición de la función y $f$ ¿es alguna función?

Question

Mi opinión es que ambos son $\emptyset$ porque si $g\circ f=\{(x,z)\mid \exists y\in \text{Im}f:(x,y)\in f\land (y,z)\in g\}$ entonces si $f$ o $g$ son el conjunto vacío entonces no existe ningún $y$ con tal condición, por lo que el conjunto está vacío. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sí, tienes razón.

Bajo la convención de que una función es un conjunto $f$ de pares ordenados tales que

si $(x,y)\in f$ y $(x,z)\in f$ entonces $y=z$

podemos definir la composición de funciones de la siguiente manera.

Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones; entonces $g\circ f=\{(x,z):(x,y)\in f\text{ and }(y,z)\in g,\text{ for some }y\}$ es una función.

El conjunto vacío es obviamente una función en el sentido descrito anteriormente y, para toda función $f$ , $$ \emptyset\circ f=\emptyset=f\circ\emptyset $$ porque $(a,b)\in\emptyset$ es falso para cada $a$ y $b$ .

Answer 2

Esto es viejo, pero creo que no estoy de acuerdo con la respuesta aceptada.

En la interpretación habitual de $g\circ f$ asumimos que $\mathrm{cod}(f) = \mathrm{dom}(g)$ o al menos $\mathrm{Im}(f) \subseteq \mathrm{dom}(g)$ . Entonces $g\circ f:\mathrm{dom}(f)\to\mathrm{cod}(g)$ . Si no tenemos $\mathrm{Im}(f) \subseteq \mathrm{dom}(g)$ entonces debemos considerar $g$ como una función parcial para tomar la composición.

Como la función vacía tiene dominio $\emptyset$ , afirmo que tenemos $$ f\circ\emptyset = \emptyset, $$ pero $$ \emptyset\circ f\ \textrm{is undefined (unless $ f=vacío $)}. $$ Tomando en su lugar la definición más laxa de composición en la que prescindimos de los dominios y codominios, por supuesto estoy de acuerdo con egreg, y la afirmación sería equivalente a $$ \emptyset\circ_{\mathrm{lax}} f := \emptyset\circ \left(f\upharpoonright_{f^{-1}(\mathrm{dom}\ \emptyset)} \right) = \emptyset\circ\emptyset = \emptyset. $$